Completando una secuencia exacta

Question

Esta pregunta aparentemente simple me ha intrigado por un tiempo: Determine qué grupos abelianos A encajan en una secuencia exacta corta$$0 \to \mathbb{Z}_{p^m} \to A \to \mathbb{Z}_{p^n} \to 0$ $

(Esta es la pregunta 2.1.14 en la topología algebraica de Hatcher)

En primer lugar, me gustaría ver una solución directa elemental. Si hay una solución más sofisticada, me gustaría verla también (un enfoque que teníamos en mente era calcular el valor de Ext, que no funcionó del todo bien).

Answer 1

Si Una es un grupo abelian con un subgrupo cíclico B y cíclico cociente grupo C = Un / B, a continuación, Una puede ser generado por dos elementos. En particular, Un = Z/rZ × Z/sZ enteros no negativos r dividiendo s. Si |B| = b y |C| = c, entonces uno debe tener rs = bc (de modo que |Una| = |B|⋅[Una : B]), y b divide a s (por lo que Una tiene un subgrupo isomorfo a B).

Esto ya le da todas las soluciones. Por ejemplo, si b = 8 y c = 16, entonces usted puede tener (r, s) en { (16,8), (8,16), (4,32), (2,64), (1,128) }.

Consideremos, por ejemplo, r = 4, s = 32. Uno tiene Una con generadores de x y y de las órdenes de 4 y 32. B es el subgrupo generado por (x,y⁴). En el cociente, C, x tiene orden 4, entonces y tiene orden de 16, y x ≡ y^-4 mod B, entonces C es cíclica, es decir, generado por yB, de orden 16.

Ext es algo así como el mcd, y esto es especialmente claro para las extensiones de grupos cíclicos, donde sólo están buscando divisores como este.

Answer 2

Aquí está el álgebra homológica perspectiva sobre el problema.

En primer lugar, permite calcular $\operatorname{Ext}^*(Z/p^n,Z/p^m)$. Abelian grupos son la misma cosa, como $\mathbb{Z}-módulos, y tenemos una resolución libre de

$$0\longrightarrow \mathbb Z \stackrel{p^n}{\longrightarrow} \mathbb{Z} \dashrightarrow \mathbb Z/p^n\longrightarrow 0$$

En general, se puede calcular el $\operatorname{Ext}_R^*(A,B)$, teniendo una resolución proyectiva de $A$ y la aplicación de la functor contravariante $\hom_R(?,B)$

En nuestro caso, si aplicamos $\hom_{\mathbb Z}(?,\mathbb Z/p^m)$ tenemos

$$ \mathbb Z/p^m \stackrel{p^n}{\longrightarrow} \mathbb{Z}/p^m $$

donde hemos utilizado el isomorfismo $\hom_{\mathbb Z}(\mathbb Z,M)\cong M$. Por lo tanto $\operatorname{Ext}^1(\mathbb Z/p^n,\mathbb Z/p^m)= (\mathbb{Z}/p^m)/p^n(\mathbb{Z}/p^m)$.

Ahora hay varios detalles que me voy a saltar (véase el texto en álgebra homológica, tales como Weibel o Rotman), pero cada elemento de a $\operatorname{Ext}^*(Z/p^n,Z/p^m)$ dará lugar a un mapa de $\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/p^m$, y cada extensión vendrá de tomar el pushout de este mapa con el mapa de $\mathbb Z \stackrel{p^n}{\longrightarrow} \mathbb{Z}$.

Por desgracia, hay algunos detalles que necesitan ser resueltos para responder a la pregunta completamente. En particular,

1. Lo posible mapas vamos a llegar? Algunos mapas pueden no corresponderse con las extensiones.
2. ¿Cuándo dos diferentes mapas de rendimiento de la extensión de la misma?
3. ¿Cuándo dos diferentes extensiones de producir el mismo grupo de $A$?

Aún así, tenemos una respuesta parcial (que puede con un poco de trabajo se extiende a una respuesta completa) que todos los $A$ es de la forma $\operatorname{coker}(\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/p^m)$ donde el mapa en la primera coordenada es la multiplicación por $p^n$.