Estoy tratando de resolver el siguiente ejercicio bastante sin éxito todavía.
Vamos a(m,n) se define como $$ \sum\limits_{n=0}^m a(m,n) \prod\limits_{i=1}^n (x+i-1) = x^m $$ Expresar a(m,n) el uso de S(m,n) , mientras que S(m,n) son los números de Stirling del segundo tipo que contar el número de formas de dividir un conjunto de n elementos en k subconjuntos no vacíos.
Sugerencia: utilice la siguiente identidad : $$x^m = \sum\limits_{n=0}^m S(m,n) \cdot x \cdot (x-1) \cdots (x-n + 1) $$
Primero he reescrito la "sugerencia"de la identidad como $$ x^m = \sum\limits_{n=0}^m S(m,n) \prod\limits_{i=1}^n (x+1-i)$$
y tengo $$ m = 0 \rightarrow a(0,0) = x^0 = S(0,0) $$ $$ m = 1 \rightarrow a(1,0) + a(1,1) \cdot x = S(1,0) + S(1,1) \cdot x $$ y m = 2 $$ a(2,0) + a(2,1) \cdot x + a(2,2) \cdot x \cdot (x+1) = S(2,0) \cdot x + S(2,1) \cdot x + S(2,2) \cdot x \cdot (x-1)$$ y, tanto en comparación con para m = 3 $$ \begin{array}{llll} a(3,0) & + a(3,1) \cdot x & + a(3,2) \cdot x \cdot (x+1) & + a(3,3) \cdot x \cdot (x+1) \cdot (x+2) \\ \underbrace{S(3,0) \cdot x}_{\text{always 0}} & +S(3,1) \cdot x & +S(3,2) \cdot x \cdot (x-1) & +S(3,3) \cdot x \cdot (x-1) \cdot (x-2) \end{array} $$
La sustitución de x con x en la "sugerencia"de la identidad como recomendado por user9325 resultados en
$$ \begin{array}{llll} a(3,0) & + a(3,1) \cdot x & + a(3,2) \cdot x \cdot (x+1) & + a(3,3) \cdot x \cdot (x+1) \cdot (x+2) \\ S(3,0) & +S(3,1) \cdot (-x) & +S(3,2) \cdot (-x) \cdot (-x-1) & +S(3,3) \cdot (-x)(-x-1)(-x-2) \end{array} $$
Multiplicar cada sumando de la ya modificada identidad por $(-1)^{(n+1)}$ obtiene
$$ \begin{array}{llll} a(3,0) & + a(3,1) \cdot x & + a(3,2) \cdot x \cdot (x+1) & + a(3,3) \cdot x \cdot (x+1) \cdot (x+2) \\ S(3,0) & +S(3,1) \cdot x & +S(3,2) \cdot x \cdot (x+1) & +S(3,3) \cdot x\cdot(x+1)\cdot(x+2) \end{array} $$
Es esto correcto? ¿Cómo puedo poner esto juntos?
