¿Minimización?):

Question

¿Qué es

$$\min_{f\in D} \int_{0}^{1} (1+x^2)f^2(x)\mathrm dx,$$ donde $D$ es la colección de todas las funciones reales continuas de $[0,1]$ tal que $\int_{0}^{1} f(x)$ = 1.

Mi intento

Tenga en cuenta que $\int_{0}^{1} (1+x^2)f^2(x)dx$ = $\int_{0}^{1} f^2(x)dx$ + $\int_{0}^{1} x^2f^2(x)dx$.

Ahora, por la desigualdad de Schwarz, $\int_{0}^{1} f^2(x)dx$ $\geq (\int_{0}^{1} f(x)dx)^2$ y

$\int_{0}^{1} (xf(x))^2dx$ $\geq (\int_{0}^{1} xf(x)dx)^2$.

$\int_{0}^{1} xf(x)dx$ = ?. Lo he intentado lo siguiente:

Sea F(x) = $\int_{0}^{x}f(t)dt$. Entonces, $\int_{0}^{1} xf(x)dx$ = $xF(x)\vert_0^1 - \int_{0}^{1} F(x)dx$ \. Estoy atascado en este punto. Sin embargo, incluso si de alguna manera me calcular esta integral, aún no creo que ($\int_{0}^{1} xf(x)dx$)^2 + ($\int_{0}^{1} f(x)dx$)^2 es el mínimo requerido. Por favor, sugiera.

P. S: es Obvio, sin embargo para fines de aclaración, f^2 no es la composición, pero pointwise la multiplicación.

Answer 1

Por Cauchy Schwarz, $$ \begin{split} 1 &= \int_0^1 f(x) \mathrm dx \\ &= \int_0^1 f(x) \sqrt{1+x^2} \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \mathrm dx \\ &\le \sqrt{\int_0^1 (1+x^2) f^2(x) \mathrm dx}\sqrt{ \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \mathrm dx} \\ &= \sqrt{\frac{\pi}{4}} \sqrt{\int_0^1 (1+x^2) f^2(x) \mathrm dx}. \end {split} $$

Por lo tanto,$$\int_0^1 (1+x^2) f^2(x) \mathrm dx \ge \frac{4}{\pi}$ $ para todos$f\in D$, y la igualdad se mantiene si y solo si

ps

Usando$$f(x) \sqrt{1+x^2} = C\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \Rightarrow f(x) = \frac{C}{1+x^2}.$ nuevamente, encontramos$\int_0^1 f(x)\mathrm dx = 1$. Asi que

ps

es el minimizador

Answer 2

Este tipo de problemas es mejor resuelto utilizando el cálculo de variaciones. Considerar la funcional $$\mathcal{L}[f] = \int_0^1(1+x^2)f(x)^2dx$$ en el espacio de las funciones de integración de a $1$. Deje $g:[0,1]\to\mathbb{R}$ ser una función que se integra a $0$, luego tenemos $$\left.\frac{d}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon=0}\mathcal{L}[f+\varepsilon g] = \int_0^12(1+x^2)f(x)g(x)dx.$$ Con el fin de encontrar los puntos críticos de los funcionales (y por lo tanto el mínimo que estamos buscando), queremos que esta expresión sea igual a cero para todos los posibles $g$. Como pedimos que $g$ integra a $0$, esto implica que debemos tener $$2(1+x^2)f(x)\equiv\text{const.},$$ así que $$f(x) = \frac{k}{1+x^2}.$$ Por inspección directa, obtenemos que para $f$ a integrar a $1$, $k=\tfrac{4}{\pi}$.

(Gracias a @JohnMa para señalar mis errores!)

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LO QUE SIGUE A CONTINUACIÓN ES UN ERROR. ESTOY TRATANDO DE ENTENDER POR QUÉ.

Otra forma de ver esto es la siguiente: vamos a $f(x)$ ser cualquier función de integrar a $1$, vamos a $\xi_{I,J}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ser el golpe con la función de apoyo en el intervalo cerrado $I$ y que es $1$ en el intervalo cerrado $J\subset I^\circ$. Considere la posibilidad de $$\tilde{f}(x) = f(x) + \xi_{[0,\tfrac{1}{2}],[\tfrac{1}{8},\tfrac{3}{8}]}(x) - \xi_{[\tfrac{1}{2},1],[\tfrac{5}{8},\tfrac{7}{8}]}(x)$$ (lo siento por el feo de la notación). Se puede mostrar fácilmente que $\tilde{f}$ integra a $1$ y $\mathcal{L}[\tilde{f}]<\mathcal{L}[f]$. Como $f$ fue arbitraria, esto demuestra que no hay minimizer.