Campo cuadrático tal que un cierto conjunto finito de primos se divide

Question

Dado un conjunto finito$S$ de primos, ¿es posible encontrar un campo cuadrático imaginario$K$ para que todos los números primos en$S$ se dividan completamente en$K$?

Answer 1

Por supuesto. Déjame asumir WLOG que$S$ contiene$2$. Deje$D$ ser cuadrado libre. Si$D \equiv 1 \bmod 4$, entonces$\mathbb{Q}(\sqrt{D})$ tiene un anillo de números enteros$\mathbb{Z}[x]/(x^2 - x - \frac{D-1}{4})$. Entonces$2$ se divide si y solo si$D \equiv 1 \bmod 8$. Un primo impar$p$ se divide si$D \equiv 1 \bmod p$, por lo que es suficiente encontrar un (sin) cuadrados negativos (%)% #% tal que$D \equiv 1 \bmod 8$ para todos los primos impares$D \equiv 1 \bmod p$. De hecho, un primo con esta propiedad existe por el teorema de Dirichlet.