Encuentre los números primos$p$ de modo que la ecuación:$x^{2} + 6x + 15 = 0$ tenga un módulo de solución$p$

Question

Necesito resolver esta pregunta:

Encontrar los números primos $p$ tales que la ecuación: $x^{2} + 6x + 15 = 0 $ tiene una solución modulo $ p $.

Mi planteamiento era: me registré para $p = 2$ y no hay solución.

Ahora si $p \neq 2 $, de modo que la ecuación tiene una solución $\iff 6^{2} -4 \times 15 = -24$ es un cuadrado modulo $p$.

Ahora $-24 $ es un cuadrado modulo $p \iff \left(\frac{-24}{p}\right) = 1$ (símbolo de Legendre) $ \iff \left(\frac{-1}{p}\right) \left(\frac{2}{p}\right) \left(\frac{3}{p}\right) = 1.$

Y ahora hay muchos casos de verificación y no estoy seguro de cómo hacerlo... Por ejemplo - caso 1:

$ \left(\frac{-1}{p}\right) =1 $ $ \left(\frac{2}{p}\right) =1 $ $ \left(\frac{3}{p}\right) = 1$ :

$ \left(\frac{-1}{p}\right) =1 \iff p \equiv 1 (4) $ ,
$ \left(\frac{2}{p}\right) =1 \iff p \equiv 1, -1 (8) $ ,

$ \left(\frac{3}{p}\right) = 1 \iff p \equiv 1, -1 (12) $

entonces, ¿cómo puedo combinar estos resultados para el caso 1? y después de eso, ¿realmente necesito ahora para comprobar todos los otros casos - que 2 de los símbolos de Legendre se $(-1)$ y una es $1$ ?

Answer 1

Su enfoque es en general bien; un problema con $p=2$ ya se mencionó en un comentario, además tenga en cuenta que usted también debe tratar a $p=3$ por separado.

Para combinar las congruencias en tu caso concreto no es difícil en un ad-hoc.

Usted tiene que $p$ tiene que ser $1$ modulo $4$, por lo que no puede ser $-1$ modulo $8$ y también no $-1$ modulo $12$. Por lo $p$ $1$ modulo $4$ y el modulo $8$ y el modulo $12$, lo que implica es $1$ modulo de sus LCM que es $24$.

Entonces, de hecho, yo consideraría que los otros tres casos en un análogo; el congruencias podría ser algo más difícil de tratar, pero no por mucho.

Answer 2

$x^2+6x+15 \equiv 0\pmod{p}\Rightarrow(x+3)^2+6\equiv0\pmod{p}\Rightarrow (x+3)^2\equiv-6\pmod{p}$.
En otras palabras,$y^2\equiv -6\pmod{p}$ o para reformular el argumento,$\left(\frac{-6}{p}\right)=1$