Bernoulli variables aleatorias y varianza

Question

La pregunta es:

Supongamos que$Z_1, Z_2, \ldots $ son iid$\operatorname{Bernoulli}\left(\frac{1}{2}\right)$ y dejan$S_n = Z_1 + \ldots +Z_n$. Deje$T$ denotar el$n$% más pequeño de manera que$S_n = 3$. Calcular$\operatorname{Var}(T)$.

Lo que sé es que$\operatorname{Var}(T) = E(T^2) - E(T)^2$ pero no estoy seguro de cómo calcular la expectativa de la información dada. Tal vez necesite pasar por la función generadora de momentos y la fórmula$M^{(r)}(0) = E(X^r)$?

Answer 1

El momento de generación de la función idea es en este caso una buena.

Deje $T_1$ ser el más pequeño $n$ tal que $S_n=1$. De manera más informal, $T_1$ es el tiempo de espera hasta el primer "éxito". Deje $T_2$ ser el tiempo de espera desde el primer éxito a la segunda, y deje $T_3$ ser el tiempo de espera de la segunda éxito a la tercera.

A continuación, el $T_i$ son independientes e idénticamente distribuidas, y $T=T_1+T_2+T_3$. Así el momento de generación de la función de $T$ es el cubo de la mgf de $T_1$.

Procedemos a encontrar la mgf de $T_1$. Así que queremos que $E( e^{tT_1})$. Note that $T_1=k$ with probablity $\frac{1}{2^k}$. So for the moment generating function of $T_1$ queremos $$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k}e^{tk},$$ Esta es una infinita progresión geométrica cuyo primer término es $\frac{e^t}{2}$ y la razón común $\frac{e^t}{2}$. Así el momento de generación de la función de $T_1$ es $$\frac{e^t}{2(1-\frac{e^t}{2})}.$$ Cubo para obtener la mgf de $T$, y el uso que mgf para encontrar$E(T)$$E(T^2)$.

Comentario: El hecho de que las probabilidades se $\frac{1}{2}$ no era de gran importancia. Y tampoco lo fue el hecho de que estamos interesados en el tiempo de espera hasta la tercera éxito.

Nuestra $T$ tiene la distribución que es un caso especial de la binomial negativa. El método que hemos utilizado se adapta fácilmente a encontrar la mgf general de una binomial negativa.

Answer 2

Puede calcular el valor de$\mathbb P(T=k)$ para cada entero$k$. Como tratamos con variables aleatorias que toman valores ya sea$0$ o$1$, el evento$T=k$ es lo mismo que$(S_{k-1}=2)\cap (Z_k=1)$. Ahora usa la independencia y lo que sabes sobre la distribución de$S_n$ para$n\geqslant 1$.

Answer 3

$$ \begin{align} & \phantom{{}=} \Pr(\min\{n : S_n=3\} = t) \\[8pt] & = \Pr(\text{exactly 2 successes in }t-1\text{ trials and success on }t\text{th trial}) \\[8pt] & = \Pr(\text{exactly 2 successes in }t-1\text{ trials})\cdot\Pr(\text{success on }t\text{th trial}) \\[8pt] & = \left(\binom {t-1} 2 \left(\frac12\right)^{t-1}\right)\cdot\left(\frac12\right) \\[8pt] & = \binom{t-1}{2} \left(\frac12\right)^t. \end {align} $$ So $$ \begin{align} \mathbb E(T) & = \sum_{t=3}^\infty t\cdot \binom{t-1}{2} \left(\frac12\right)^t = \sum_{t=3}^\infty 3\binom t3 \left(\frac12\right)^t \\[8pt] & = \left.\sum_{t=3}^\infty 3\binom t3 p^t\right|_{p=1/2} \\[8pt] & = \sum_{t=3}^\infty \frac12 p^3 \frac{d^3}{dp^3} p^t \\[8pt] & = \frac12 p^3\frac{d^3}{dp^3}\sum_{t=3}^\infty p^t. \end {align} $$ Ahora suma la serie geométrica, diferencia, y luego inserta$1/2$ para$p$.

$\mathbb E(T^2)$ se puede encontrar más fácilmente escribiéndolo como$\mathbb E(T(T-1)) + \mathbb E(T)$ y aplicando un método como el anterior para encontrar el primer valor esperado.