Después de leer tu último comentario, pensé que podría ayudar a explicar mi comentario en una respuesta.
Las funciones elementales son holomorphic porque exponenciales y poderes y de sus inversas son holomorphic, las constantes de holomorphic, combinaciones aritméticas (sumas, productos, etc.) de holomorphic funciones son holomorphic, y las composiciones de holomorphic funciones son holomorphic.
La función de $f(z)=\overline{z}$ no es holomorphic debido a su compleja derivada no existe en ningún punto. Si $z\neq w$,$\displaystyle{\frac{f(z)-f(w)}{z-w}=\frac{\overline{z-w}}{z-w}=\exp(-2i\mathrm{arg}(z-w))}$. Usted puede tener $z$ arbitrariamente cerca de $w$ mientras $\exp(-2i\mathrm{arg}(z-w))$ puede ser un punto arbitrario en el círculo unidad. Para ver esto, usted puede considerar la posibilidad de $z$ que se mueve en pequeños círculos alrededor de $w$. Para ver más explícitamente lo que puede ir mal, considere la posibilidad de $z$ aproxima $w$ a lo largo de la línea horizontal $z=w+t$ donde $t$ es real y se aproxima a cero, y luego considerar la $z$ aproxima $w$ a lo largo de la línea vertical $z=w+it$, donde de nuevo $t$ es real y enfoques $0$. En el primer caso el cociente es siempre $1$, y en el segundo caso el cociente es siempre $-1$. Por lo tanto, $\displaystyle{\lim_{z\to w}\frac{f(z)-f(w)}{z-w}}$ no existe.
El Cauchy-Riemann ecuaciones dar una manera menos directa (pero quizás sea más fácil) manera de ver que $f$ no es holomorphic. Si $g$ es un holomorphic función, y si $g$ se expresa como una función de $x$ $y$ (con un poco de abuso de notación) $g(x,y)=g(x+iy)$,$\displaystyle{i\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{\partial g}{\partial y}}$. En el caso de $f(z)=\overline{z}$, usted tiene $f(x,y)=x-iy$, lo $\displaystyle{i\frac{\partial f}{\partial x}=i}$$\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y}=-i}$, mostrando que la de Cauchy-Riemann ecuaciones no son satisfechos.
