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¿Escalamiento de una distribución de $\chi^2$ central produce una distribución de #% central no %#%?

Para muestras independientes de dos normales poblaciones, $X_1,\dotsc,X_n\sim N(\mu_X, \sigma_X^2)$$Y_1,\dotsc,Y_m\sim N(\mu_Y,\sigma^2_Y)$, $F$ prueba de igualdad de varianzas utiliza la estadística \begin{align*} F=\frac{s^2_X}{s^2_Y}\overset{d}{=}\frac{\sigma^2_X}{\sigma^2_Y}\frac{\chi^2_{n-1}/(n-1)}{\chi^2_{m-1}/(m-1)}. \end{align*} Cuando las varianzas son iguales, $F\sim F_{n-1,m-1}$.

Wikipedia dice que cuando las varianzas no son iguales, $F$ "tiene un no-central $F$-distribución". Sin embargo, de acuerdo con la definición estándar de la no-central $F$-distriubtion, esto significaría que $(\sigma_X^2/\sigma_Y^2)\cdot\chi_{n-1}^2\sim \chi^2_{n-1;\delta}$ algunos $\delta$.

Es cierto que la ampliación de una central de $\chi^2$ los resultados de la distribución en un no-central $\chi^2$ distribución? O puede que el término "no-central de distribución" se refiere a cualquier alteración de la central de distribución?

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Gordon Smyth Puntos 170

Por desgracia, el artículo de Wikipedia sobre "F-test de igualdad de varianzas" es incorrecta. Cuando las varianzas son desiguales, la distribución de $F$ ni $F$ ni no-central $F$, es simplemente una escala de $F$.

La no-central de chi-cuadrado de distribución en k df específicamente se refiere a la distribución de $$\sum_{i=1}^k (Z_i+\delta_i)^2$$ donde el $Z_i$ son independientes de la N(0,1) y al menos algunas de las $\delta_i$ son cero. El "no-centralidad" se refiere al hecho de que la distribución de la normal de variables aleatorias $(Z_i+\delta_i)$ no están "centrados" en cero.

Por otro lado, la distribución de $\sigma^2 X^2$ donde $X^2$ es de la chi-cuadrado es simplemente gamma o "escala chisquared". No es "no-central de chi-cuadrado".

La no-central $F$ distribución específicamente se refiere a una relación de no-central de chi-cuadrado de distribuciones, cada una dividida por sus grados de libertad. De nuevo, esto es algo mucho más complejo que una mera escala de transformación.

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Ahora he corregido la página de la Wikipedia.

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