Inverso de la suma de la matriz identidad y matriz nilpotente

Question

Supongamos que es de $A$ $n\times n$ matriz nilpotente de índice $m$. es decir, $A^m=0$ $A^{m-1}\neq0$.

% Construcción $M=A+\lambda I_n$. Se sabe que $M^{-1}=\sum_{i=1}^{m}\lambda^{-i}(-A)^{i-1}$ quiero probar $M^{-1}= B+\lambda^{-1}I_{n}$, donde B es una matriz nilpotente de índice $m$, es decir, $B^m=0$ $B^{m-1}\neq0$. Por cierto, quiero obtener la característica polinomio y polinomio mínimo de $M^{-1}$

Es fácil mostrar $B^m=0$. Sin embargo, no tengo ni idea cómo probar $B^{m-1}\neq0$.

Answer 1

Que $I=I_n$, que $M = A + \lambda I$ y que $B = M^{-1} - \lambda^{-1}I$.

Desea mostrar $B^{m-1} \ne 0$.

\begin{align*} \text{Then}\;\;&MM^{-1}=I\\[4pt] \implies\;&(A+\lambda I)(B+\lambda^{-1}I)=I\\[4pt] \implies\;&AB+\lambda^{-1}A + \lambda B = 0\\[4pt] \implies\;&B(A + \lambda I) = -\lambda^{-1}A\\[4pt] \implies\;&BM = -\lambda^{-1}A\\[4pt] \implies\;&B=(-\lambda^{-1}A)M^{-1}\\[4pt] \implies\;&B^{m-1}=(-\lambda^{-1}A)^{m-1}M^{-(m-1)} &&\text{[since %#%#% commutes with A]}\\[4pt] \implies\;&B^{m-1}\ne 0 &&\text{[since %#%#%]}\\[4pt] \end{align*} que $M$ tiene solamente un valor propio distinto, es decir $A^{m-1} \ne 0$, por lo tanto, el polinomio característico para $M^{-1}$ $\lambda^{-1}$.

Pero satisface a $M^{-1}$ $(x-\lambda^{-1})^n$, desde $M^{-1}$ y $(x-\lambda^{-1})^m=0$ no satisface $B^m=0$, desde $M^{-1}$. Se sigue que el polinomio mínimo de $(x-\lambda^{-1})^{m-1}=0$ es $B^{m-1} \ne 0$.

Answer 2

Sugerencia Escribir explícitamente los primeros términos de la expresión de la suma da $$M^{-1} = B + \lambda^{-1} I_n = \lambda^{-1} I_n - \lambda^{-2} A + p A^2$ $ % expresión $p$polinomio en $A$. Por lo tanto, podemos escribir $B^{m - 1}$ $$B^{m - 1} = (- \lambda^{-2} A + p A^2)^{m - 1} .$ $

Expandiendo esta expresión cada término tiene contiene un factor de $A^m$ (y por lo tanto, por hipótesis es cero) a excepción de $(-\lambda)^{(2 - m)} A^{m - 1}$.