Si el mapa de identidad entonces demostrar que $f^n$$f$ es biyección

Question

Deje $f:A\rightarrow A$ $f^n=1_A$ donde $f^n=\underbrace{f\circ f\circ\cdots\circ f}_\text{n times}$. Demostrar que $f$ es bijection.

He encontrado algún tipo de prueba y que es una contradicción de la prueba, pero no entiendo muy bien el surjectivity.

Si f no es de inyección, a continuación, existen $x_1,x_2\in A$ tal que $f(x_1)=f(x_2)$$x_1\neq x_2$. A continuación,$f^{n-1}(f(x_1))=f^{n-1}(f(x_2)) \iff f^n(x_1)=f^n(x_2)$. Pero, a continuación,$x_1=x_2$, por tanto, una contradicción.

Si f no es surjection entonces no existe $y\in A$ tal que para cada $x\in A$ $f(x) \neq y$. Esto de alguna manera implica que $f(f^{n-1}(z))\neq y$ por cada $z\in X$.

Hay algunos pasos que se omite en la surjectivity prueba y, honestamente, no estoy seguro de cómo obtenemos contradicción aquí o cómo incluso conseguimos que $f(x) \neq y \implies f(f^{n-1}(z))\neq y$. Cualquier ayuda es muy apreciada.

También es la prueba de inyectividad razonable?

Answer 1

Tenga en cuenta que $f^{n-1}$ es el inverso del $f$. Sigue que $f$ es una biyección.

Answer 2

Evitar una prueba por contradicción. En ese caso, se convierte en la prueba de inyectabilidad:

"Supongamos que $f(x_1)=f(x_2)$. Entonces $x_1=f^{n-1}(f(x_1))=f^{n-1}(f(x_2))=x_2$."

Para suprayectividad: $f^n=\mathrm{id}_A$, que $f(f^{n-1}(y))=y$, sentido $f(x)=y$ donde $x=f^{n-1}(y)$.

Answer 3

Recordar:

Teorema. % Que $F \colon A \to B$y $G \colon B \to C$.

1. Si $G \circ F$ es inyectiva, entonces es inyectiva $F$.
2. Si $G \circ F$ es sobreyectiva, $G$ es sobreyectiva.

Utilizar este teorema para $f \colon A \to A$.

• Puesto que es inyectiva $\operatorname{id}_A = f^n = f^{n-1} \circ \color{red}f$, $f$ es inyectiva.
• $\operatorname{id}_A = f^n = \color{red}f \circ f^{n-1}$ $f$ Es sobreyectiva, es sobreyectiva.

Por lo tanto, $f$ es biyectiva.

Answer 4

La prueba de inyección está muy bien.

En su prueba surjection, aquí es una pista para continuar, a partir de la ecuación de $f(x) \ne y$: ¿Qué puede usted concluir aplicando $f$ una y otra vez a ambos lados de la ecuación?

Answer 5

No hay contradicción en suprayectividad. Desde $$f^n(y) = y$$ for each $y $ then however we chose $y $ then $x = f ^ {n-1} (y) $ will map to $y $: $% $ $f(x)= f(f^{n-1}(y))=f^n(y) = y$