¿Números empeoran de trascendental?

Question

Los matemáticos han venido con muchas formas de clasificar el cómo "exótico" algunos de los números son. Por ejemplo, el más común son los números naturales "contar" el número, y el lado más exótico de los números son cero y los enteros negativos. Luego están los racionales no enteros, que son cocientes de enteros. Luego vienen los números algebraicos, que pueden ser expresados como raíces de polinomios con coeficientes racionales. Pero todavía hay trascendental números, como $\pi$$e$, lo que no puede ser expresado en cualquiera de estas formas. Sin embargo, $\pi$ $e$ puede expresarse como las integrales de funciones elementales.

Mi pregunta es esta: ¿existen los números (trascendental, por supuesto) que no puede ser expresado como la integral definida de una función primaria? Por supuesto, no espero a nadie a probar algo como esto (tal vez de refutarla?), pero me gustaría saber si algo como esto es probable. Claramente, todos los números reales puede ser expresada como una serie infinita (sólo mediante el uso de fracciones egipcias y el algoritmo voraz), pero si todos los números reales puede ser expresada como una integral es menos clara.

Mis pensamientos: realmente no tengo idea, pero si ese número no existía, yo esperaría que sea algo con infinito irracionalidad medida (como Liouville constante, o cualquier otro número de Liouville).

EDIT: Para aclarar, mi pregunta no es realmente acerca de "¿qué otros tipos de alteraciones patológicas de los números están ahí". Realmente quiero saber si alguien puede proporcionar cualquier computable ejemplos de números que no están exponencial períodos.

Answer 1

Respuesta corta: sí, hay números peor que $e$$\pi$. Casi todos los números reales son peores. Hay una cantidad no numerable de reales, mientras que cualquier clase de "agradable trascendental números" puedes pensar que va a ser sólo contables (y propongo exponencial períodos como una buena clase de números del tipo que se describe).

La clase de números que son raíces de polinomios con coeficientes racionales son números algebraicos. Los números que son integrales definidas de funciones algebraicas algebraicas de los límites se llama el anillo de los períodos. Es una clase más amplia de los números, incluyendo muchos familiares (sospecha de) trascendental números como $\pi$, $\log 2$, $\zeta(3)$, e $\Gamma(p/q)^q$. Ver este bonito cartilla Kontsevich y Zagier.

En realidad, algunos números comunes como el número de Euler $e$, el de Euler-Mascheroni constante $\gamma$, e $1/\pi$ son todavía (sospecha) que faltan en el anillo de los períodos. Así Kontsevich y Zagier ir más allá y extender el anillo exponencial períodos, que se define como las integrales de productos de exponenciales de funciones algebraicas con funciones algebraicas. Esto le da una clase de números que incluyen "todos los algebraica de las potencias de $e$, los valores de $\Gamma$ a los argumentos racionales, los valores de las funciones de Bessel, etc."

Supongo que la exponencial períodos aún no incluyen la $\gamma$, porque finalmente ellos afirman que si usted extender la clase más por agregar, entonces "todos los clásicos constantes, en un sentido apropiado" (lo que significa).

En esta cartilla sobre exponencial de los motivos por Fresán y Jossen, según Belkane y Brosnan, $\gamma$ es una exponencial período, como atestiguan las integrales de $\gamma=-\int_0^\infty\int_0^1e^x\frac{x-1}{(x-1)y+1}\,dy\,dx$ o $\gamma=-\int_0^\infty\int_1^x\frac{1}{y}e^{-x}\,dy\,dx$.

De todos modos, los números racionales son numerables. Los números algebraicos son contables. El anillo de los períodos contables. El exponencial de los períodos contables. Y incluyendo $\gamma$ sin duda deja aún con una contables de la clase de los períodos.

Pero las cifras reales son innumerables, por lo que sigue siendo el caso que la mayoría de los números reales no son períodos, no exponencial períodos, y no se puede escribir en cualquiera de estos formularios.

Así que para responder a la pregunta, sí, los números reales se hacen llegar más exóticos que los números en el anillo de los períodos o exponencial periodos como $e$ o $\pi$.

Mi comprensión de los enunciados de la forma "$\Gamma$ toma valores en el exponencial periodos racional de los valores" es que nos esperaría $\Gamma$ tomar valores irracionales argumentos que no exponencial períodos (aunque, en general, espero que las pruebas de tales afirmaciones a ser difícil de conseguir).

Así que yo esperaría que los números como $\Gamma(\sqrt{2})$, $e^\pi$, $\zeta(\log 2)$ para ser ejemplos de números computables que no se exponencial períodos. Pero estos serían presumiblemente no será considerada "clásica constantes".

Yendo más allá, incluso los números computables son contables, por lo que la mayoría de los números reales no son ni siquiera computable, y mucho menos en el anillo de los períodos.

Answer 2

Seamos más precisos acerca de definibles por números, para evitar problemas comunes.

Supongamos que hemos elegido nuestro favorito fundamentales del sistema $S$, que es en la matemática moderna ZFC. $S$ de curso puede ser implementada por un programa de computadora que le da entrada y teorema de supuesta prueba de salida "sí" si la supuesta prueba de ello es válido para el teorema, y la salida será "no" en caso contrario. Entonces, podemos decir que cada definibles por el objeto (sobre $S$) es uno para el cual hay algunos $1$-parámetro de la sentencia de $P$ tal que $S$ demuestra $\exists!x(P(x))$. En cierto sentido, $P$ es la definición de ese objeto.

Pero para hablar de definibles reales, hay un problema. No podemos utilizar la definición de arriba, porque no podemos preguntarnos si existe una definición de propiedad para un determinado número real, porque no hay manera de codificar todos los números reales en distintas finito de cadenas, y mucho menos en una forma que tenga sentido para nosotros para hablar acerca de si $S$ demuestra algo al respecto. Pero aquí es una manera de conseguir alrededor de ese tema. Si $S$ (como ZFC) se puede hablar de la colección de los números reales $R$, entonces podemos definir una definibles por el real $S$ real $r$ que hay algunos $1$-parámetro de la sentencia de $P$ $S$ de tal forma que cada modelo de $M$ $S$ que tiene la misma reales satisface $P(r) \land \exists!x( x \in R \land P(x) )$, y llamamos a esta $P$ una propiedad definitoria de $r$. Suponiendo que $S$ tiene un modelo, esta definición implica que no hay dos reales pueden satisfacer la misma definición de la propiedad.

Para subrayar de nuevo, esta definición de "definible real" no es el mismo como "definibles por el objeto que es un verdadero" ("con" la anterior definición de "definibles por el objeto"); este último no tiene ningún sentido sintáctico, ya que un "definibles por el objeto" es sólo una $1$-parámetro de la sentencia sobre $S$ y no un objeto. De hecho, es imposible hablar (en $S$) acerca de si un objeto que satisface una $1$-parámetro de la sentencia sobre $S$ o no, por exactamente la misma razón que en Tarski del undefinability teorema.

Por supuesto, para cualquier razonables $S$ (incluyendo ZFC), por el teorema de la incompletitud de Gödel no podemos demostrar que $S$ tiene un modelo (a menos $S$ es incompatible), pero podemos demostrar que si $S$ tiene un modelo con la misma reales, entonces hay countably muchos definibles reales. En tal caso, según nuestra definición de "definible real", una cantidad no numerable de reales son indefinible. Incluso sin la restricción para las integrales. Absolutamente ninguna manera de definir reales será capaz de capturar todos ellos!

Adelantarse a la objeción de que no es realmente satisfactorio que no podemos decir nada acerca de definibles reales sin asumir un modelo de $S$ con la misma reales, considere la posibilidad de que debemos aceptar $S$ como fundacional sólo si creemos que es significativo. Y no tendría sentido si no hay ningún modelo de $S$ con la misma reales, porque luego por la semántica integridad teorema $S$ demostraría que el hecho de que, contrariamente a nuestra creencia de que $S$ es significativo! Por lo tanto nosotros debemos creer (a pesar de no ser capaz de demostrar) que "definible real" no es un vacuo concepto.

---

Además, podemos clasificar a los definidos por los números más finamente. En primer lugar tenemos computable reales, para los cuales hay un programa que en la entrada de $n$ va a la salida de un racional que está dentro de $2^{-n}$ del valor real. Pero el unsolvability de la detención problema puede ser utilizado para mostrar que no hay un programa que se puede dar de dos computable de reales (como código de programa) va de salida "sí" si son iguales y "no" si no lo son.

Por lo que podemos considerar el siguiente nivel en la jerarquía, que son programas que se les permite obtener respuestas inmediatas a partir de la detención de oracle (que es, literalmente, un oráculo que le conteste correctamente si cualquier programa se detiene en la entrada o no). Que nos llame a estos programas $1$-saltar programas. Por supuesto, habrá más reales de los que puede ser calculado por $1$-saltar programas. Resulta que la detención problema para $1$-saltar programas no pueden ser resueltos por una $1$-salto. Pero, de nuevo, podemos ir al siguiente nivel, que es $2$-saltar a los programas que tienen derecho a consultar a un oráculo para el cese de las $1$-saltar programas. Y así sucesivamente.

De esta manera tenemos un montón de nuevos números reales, y todavía la detención problema para todos finito de salto de programas no pueden ser resueltos utilizando cualquier finito de saltar del programa, así que hay un siguiente nivel más allá de lo que podemos llamar $ω$-saltar programas. Y así sucesivamente y en y en.

---

[Actualización]

La pregunta fue posteriormente editado para preguntar sobre computable números que no pueden expresarse como integrales definidas de funciones elementales, donde presumiblemente los límites se expresan también mediante funciones elementales. No estoy seguro de cuál es el estado actual de la técnica, pero dado que cualquier algoritmo para calcular definitiva primaria integrales de precisión arbitraria, tal que el tiempo de la complejidad en sí es computable, podemos fácilmente diagonalize para producir una computable real que no es igual a ninguno de los definidos primaria integrales, porque podemos computably enumerar todas las escuelas primarias expresiones. Este papel parece sugerir que tal un algoritmo existe, aunque no he mirado los detalles.

Answer 3

Ampliando Nik Pronko comentario acerca de definibles reales, considerar el conjunto de secuencias finitas de los caracteres del alfabeto latino. Podemos contar con este set con bastante facilidad: $a$, $b$, $c$, ..., $z$, $aa$, $ab$, $ac$...

El conjunto legible de documentos en inglés, es un subconjunto de este conjunto, así que también debe ser contable. El conjunto de documentos en inglés que describen los números es también un subconjunto de ese conjunto, por lo que el conjunto de números que se pueden describir en inglés es contable. El conjunto de los reales es incontable, por lo que debe haber un infinito incontable de números que pueden ser descritas en inglés.

Por esperemos razones obvias, no te puedo dar un ejemplo de cualquier número. La utilidad de este resultado es discutible, pero sí responder a su pregunta. Para cualquier forma de describir los números reales, siempre debe haber un infinito incontable de los números reales que no pueden ser descritas por ese método.

Answer 4

¿Existen números (trascendentales, por supuesto) que no se puede expresar como la integral definida de una función elemental?

La respuesta es simplemente no porque, como Jack D'Aurizio señaló en los comentarios, puede escribirse cualquier número real $x$ $ $ x = \int_0^x 1 \, dt. $$

Alternativamente, podríamos escribir $$ x = \int_0^1 x \, dt. $$

Answer 5

Cualquier número que usted puede escribir una fórmula está representada por una cadena de caracteres del alfabeto de símbolos de la matemáticas y por lo tanto es un miembro de un sistema contable. Infinidad incontable de "peor" números llena el territorio que no se puede especificar mediante cualquier fórmula.