Resolver la ecuación compleja con exponencial

Question

Tengo que resolver:

$$e^{3z}+3ie^{2z}-ie^z+3=0$$

Mi intento:

Que $0\ne x:=e^z$. Entonces podemos reescribir la ecuación como:

$$x^3+3ix^2-ix+3=0$$ $$ix^2(-ix+3)+(-ix+3)=0$$ $$(-ix+3)(ix^2+1)=0$$

Así $x\in \{-3i,\sqrt{i},-\sqrt{i}\}$

Ahora volviendo a nuestro sustitución tenemos: $$e^z=-3i \lor e^z=\sqrt{i} \lor e^z=-\sqrt{i}$ $

En el primer caso: $z=\ln3+i(\frac{-\pi}{2}+2k\pi)$ donde $k\in\mathbb{Z}$

En el segundo caso: $z=i(\frac{\pi}{4}+2l\pi)$ donde $l\in\mathbb{Z}$

En el tercer caso: $z=i(\frac{- 3\pi}{4}+2m\pi)$ donde $m\in\mathbb{Z}$

¿Por lo que los anteriores son soluciones de nuestra ecuación inicial?

Answer 1

$$e^{3z}+3ie^{2z}-ie^z+3=0$$

Da:

$$e^{3z}+((3i)(e^{2z}))-((i)(e^z))+3e^{0i}=$$ $$e^{3z}+((3e^{\frac{1}{2}\pi})(e^{2z}))-((i)(e^z))+3e^{0i}$$

Que le da la siguiente ecuación:

$$(e^z+3i)(e^{2z}-i)=0$$

Así que sabemos que o la primera parte es cero o la segunda parte!

$$(e^z+3i)=0$$ $$e^z=-3i$$ $$z=\frac{1}{2}i(4\pi n-\pi -2i*ln(3))$$

N es el elemento de Z (conjunto de números enteros).

O:

$$(e^{2z}-i)=0$$ $$e^{2z}=i$$ $$z=\frac{1}{4}i(4\pi n+\pi )$$

N es el elemento de Z (conjunto de números enteros).