Actualmente estoy haciendo deberes, pero estoy totalmente atrapado en un problema. Necesito factorizar el siguiente trinomio:
$$5x^2+7xy+2y^2$$
¿Cómo puedo solucionar este problema? No tengo idea qué hacer debido a las diferentes variables.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Al C
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Entender como sigue.
En primer lugar, darse cuenta de que la respuesta tiene que ser algo así como $(ax + by)(cx + dy)$ para obtener los términos de $x^2$$y^2$y %. Pero entonces uno de $a$ o $c$ $1$ y el otro tiene que ser $5$, o nunca te $5x^2$. Usted puede hacer un argumento similar para averiguar qué $b$ y $d$ puede ser. Al final hay sólo cuatro posibilidades; dos de ellos dan la respuesta correcta, y dos de ellos no.
runeh
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Hay varias maneras de abordar esta forma homogénea.
Suponga que usted puede factorizar $5z^2+7z+2=(az+b)(cz+d)$, a continuación, la homogeneidad de la forma es factorised de la siguiente manera, tomando $z=\cfrac xy$$$5x^2+7xy+2y^2=y^2\left(5(\frac xy)^2+7\frac xy+2\right)=y^2(5z^2+7z+2)=y^2(az+b)(cz+d)$$Now allocate a factor $y$ to each bracket$$=(azy+by)(czy+dy)=(ax+by)(cx+dy)$$
Por lo que la factorización es esencialmente la más obvia usted sabe, y puede ser obtenida mediante el establecimiento $y=1$, por ejemplo. La homogeneidad de la forma también admite la posibilidad de $y=0$ y puede ser visto como una extensión de la original factorización "hasta el infinito", pero lamentablemente no más allá. Por esta razón polinomios homogéneos (y "proyectiva" estructuras de diversos tipos) se vuelven importantes en la Geometría Algebraica - evitar casos especiales en el infinito.
La aritmética básica de la factorización sigue siendo el mismo.
response
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Luke Duddridge
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Key Ideas
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Por el método de AC podemos reducir a factoring un monic (líder coeficiente $= 1).$
$$\begin{eqnarray} f\, &=&\ \ \: \color{#c00}2y^2\ + 7xy\ \ \ +\ \ \ 5x^2 \\ \Rightarrow\ \color{#c00}2f\, &=&\, (\color{#c00}2y)^2 + 7x(\color{#c00}2y)+ \color{#c00}2\cdot 5\ x^2, \ \ {\rm let}\ \ Y = 2y \\ &=&\quad Y^2 + 7x\ Y + (2x)(5x)\\ &=&\,\ \ (Y + 2x)(Y + 5x) \\ &=&\,\ (2y+2x)(2y+5x)\\ \Rightarrow\ f\, &=&\ \ \ \, (y\ +\ x)(2y+5x)\end{eqnarray}$$
Nota $\ $ debido a la factorización única, este método siempre tendrá éxito (ver el enlace anterior para más detalles).
