Sí, es cierto que cualquier ideal en un anillo que contiene una unidad debe ser el todo el anillo. (También: cada izquierdo ideal que contiene a la izquierda-invertible elemento debe ser el todo el anillo).
Ahora, hay dos puntos aquí. Uno es la idea de generalizar "los múltiplos de $n$", y la segunda es la idea de hacer cocientes.
Vamos a empezar con la primera. La noción de que los ideales generalizar cosas como "todos los múltiplos de $n$" $\mathbb{Z}$ vuelve todo el camino a Dedekind, que de hecho ocurrió con el término "ideal" (se trataba de una contraparte a Kummer "los números ideales"; en el riesgo de que pregonan mi propio cuerno, retirar el papel con David McKinnon, de Gauss, Lema de los Campos de Número, Amer. De matemáticas. Mensual 112 no. 5 (2005) págs 385-416). Dedekind estaba mirando anillos como $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, y quería algo a lo largo de las líneas de factorización única; Kummer había hecho esto mediante la introducción de algo que se llama "los números ideales", que eran como los primos de los números enteros, pero que en realidad no se producen en el ring con el fin de explicar las cosas como $2\times 3 = (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$, aunque ninguno de $2$, $3$, $1+\sqrt{-5}$ y $1-\sqrt{-5}$ se puede escribir como un producto de dos números (de $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$), ninguno de los cuales es $1$ o $-1$. La idea era que estos "ideal números" $\alpha$, $\beta$, y $\gamma$, que tenía la propiedad de que $\alpha\beta=1+\sqrt{-5}$, $\alpha\gamma=1-\sqrt{-5}$, $\alpha^2 = 2$, y $\beta\gamma=3$. En lugar de "inventar" estos números, Dedekind considera una colección de todos los números, que sería "el múltiplos de $\alpha$" si $\alpha$ era en realidad un elemento de $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$. Una condición necesaria y suficiente para una colección de elementos de $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ a calificar como "todos los múltiplos de $x$" ($x$ era un número ideal de un número real), fue que la colección no vacío, cerrado bajo sumas y diferencias, y que si $a$ fue en la colección de $r$$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, $ra$ estaba en la colección. Eran los "ideales" porque estaban jugando el papel de los números ideales (aquí, "ideal" de los medios existentes en la fantasía o la imaginación). Esta generalizada para cualquier anillo contenida en un número finito de extensión de $\mathbb{Q}$ y que contiene todos los elementos que forman parte (raíces de monic polinomios con coeficientes enteros), llamado el "campo de número de caso"; más tarde, Dedekind y Weber desarrolló una teoría similar en lo que se denomina la "función" del campo de caso. Más tarde, cuando los anillos se abstracta y generalizada desde el campo número y la función de campo de los casos por Artin y por Noether, las condiciones fueron extendidas pero que todavía estaban basados en la idea de que los ideales correspondió a "todos los múltiplos de" un número ideal en el campo número.
Ahora, no hay ningún problema con el hecho de que a veces estas colecciones son todo: esto sucede cada vez que la colección se ajusta a los requisitos y contiene una unidad. Algunas de las colecciones de hacer, algunos no. De hecho, esa es una manera en la que uno puede probar a ver si un elemento es una unidad: si el ideal que genera todo el anillo, entonces es una unidad (esto funciona en el caso de anillos conmutativos con unidad, no en el más general de los anillos). En realidad, esto tiene sentido porque todo es un múltiplo de una unidad.
Para los anillos como $\mathbb{Z}$, y en cierta medida el número de anillos como en el anterior, cada ideal consiste exactamente "todos los múltiplos de $x$" para algunos $x$ (aunque en el número de anillo, el $x$ puede ser un "número ideal"). Para obtener más general (propiedad conmutativa) anillos (con la unidad), si usted tiene una familia de elementos de $x_1,\ldots,x_n$, luego los elementos del ideal generado por a $x_1,\ldots,x_n$ son exactamente aquellos elementos que son "$R$-combinaciones lineales" de $x_1,\ldots,x_n$; es decir, todos los elementos que puede ser expresado como $r_1x_1+\cdots+r_nx_n$ algunos $r_1,\ldots,r_n\in R$; esto incluye todos los múltiplos de cada uno de los $x_i$, así como otros elementos. Si uno de los $x_i$ es una unidad, ya que todo es un múltiplo de una unidad, entonces todo está en el ideal en cuestión. Hay otros tipos de ideales (no "finitely generado", como usted comience a tratar con más y más complicado de los anillos).
Ahora, a la segunda pregunta. Como sucede, Dedekind también señaló que las condiciones en el conjunto (no vacío, cerrado bajo sumas y diferencias, y cerrado en virtud de productos por parte de los elementos del anillo) fueron precisamente la condición necesaria para ser capaz de hacer "congruencia modulo" los múltiplos de $x$, por lo que también se les llama "módulos" (debido a que usted podría hacer aritmética modular con ellos). Este es esencialmente el mismo que hablar de cocientes.
Pero uno puede llegar a los ideales de manera diferente si usted está interesado en los cocientes. Esto es esencialmente lo mismo que yo en esta respuesta normal de los subgrupos. Supongamos que queremos definir una relación de equivalencia $\sim$ sobre el ring $R$, de modo que usted puede hacer $R/\sim$ en un anillo utilizando las operaciones $[a]+[b]=[a+b]$ $[a][b]=[ab]$ (donde $[a]$ es la clase de equivalencia de a $a$ bajo $\sim$). Resulta que la única manera que esto puede funcionar es si $\sim$ es un sub-anillo de $R\times R$ (cuando consideramos $\sim$ como una colección de pares ordenados de elementos de $R$, por lo tanto, un subconjunto de a $R\times R$), y que si dejas $I$ ser la colección de todos los elementos de a $R$ que son equivalentes a $0$, $I$ es un ideal de a $R$ y la equivalencia de la relación de $\sim$$a\sim b\Longleftrightarrow a-b\in I$. Usted puede tratar de demostrar los teoremas en la citada respuesta para los anillos en lugar de grupos, que son esencialmente los mismos argumentos.
De nuevo, esto no tiene ningún problema con respecto a tener unidades en el ideal: esto es lo que sucede si la relación de equivalencia es sólo "todo está relacionado con todo", o si su cociente es el elemento de anillo; estos son perfectamente válidos (aunque algo aburrido) las relaciones de equivalencia y cocientes.
Pero: en un anillo conmutativo con $1$, un ideal es el conjunto de anillo si y sólo si contiene una unidad. Si no hay unidades, entonces no es todo el anillo. Un anillo se dice simple si la única ideales son el cero ideal y todo el anillo; para conmutativa de los anillos, la única simples anillos son los campos y el cero del anillo. En el no conmutativa caso no son simples anillos que no son de la división de los anillos: por ejemplo, el conjunto de $n\times n$ matrices encima de cualquier simple anillo (por ejemplo, cualquier campo) es simple para cada $n$.
Tenga en cuenta también que, si bien una adecuada ideal necesariamente no contiene una unidad, no es cierto que cualquier subconjunto que no contiene una unidad es un ideal. La colección de todos los números que son múltiplos de $2$ o de $3$ $\mathbb{Z}$ no contiene unidades, pero no es un ideal (no es un subgrupo).
