Demuestre que el $\max{ \{ x,y \} }= \frac{x+y+|x-y|}{2}$ .

Question

Demuestre que el $\max{ \{ x,y \} }= \dfrac{x+y+|x-y|}{2}$ .

No entiendo cómo hacer para completar este problema o incluso por dónde empezar.

Answer 1

Esta es otra forma de verlo:

Tenemos $|x| = \max(x,-x)$ . También, $\max(a,b)+c = \max(a+c,b+c)$ y si $c \geq 0$ entonces $c \max(a,b) = \max(ac,bc)$ .

Por lo tanto, \begin{eqnarray} \frac{1}{2}(x+y+|x-y|) &=& \frac{1}{2}(x+y+\max(x-y,y-x)) \\ &=& \frac{1}{2}(\max(x-y+x+y,y-x+x+y)) \\ &=& \frac{1}{2}(\max(2x,2y)) \\ &=& \max(x,y) \end{eqnarray}

Answer 2

Probablemente no sea tan riguroso como debería, pero creo que es suficientemente intuitivo.

Hmm... No sabemos cuál de $x$ o $y$ es mayor, pero sí sabemos una cosa: su media. Si llamamos a la media $z$ entonces $z=\frac{x+y}{2}$ . Ahora, la distancia entre $x$ y $y$ es $|x-y|$ por lo que la distancia de $z$ a ambos $x$ y $y$ es $\frac{|x-y|}{2}$ .

Así que si imaginamos una recta numérica, la distancia de $0$ a $z$ es $\frac{x+y}{2}$ y la distancia de $z$ a max(x, y) es $\frac{|x-y|}{2}$ . Por lo tanto, la distancia total de $0$ a max(x, y) es $\frac{|x-y|}{2}$ + $\frac{x+y}{2}$ , según se desee.

Answer 3

Una pista: Si $x\ge y$ entonces $|x-y|=x-y$ . Si $x\lt y$ entonces $|x-y|=-(x-y)=y-x$ .

Hemos utilizado el hecho de que en general $|w|=w$ si $w\ge 0$ y $|w|=-w$ si $w\lt 0$ .

Answer 4

$$ \max\{x,y\} =\frac{x+y+|x-y|}{2} $$ $$ => 2.\max\{x,y\} =x+y+|x-y| $$ hay dos situaciones posibles :
1. $ y>x $ es decir $\max\{x,y\}=y$ entonces $y-x=|x-y|$ esta ecuación es verdadera porque suponemos que
$ y>x$
2. $x>y$ o $\max\{x,y\}=x$ entonces $x-y=|x-y|$ lo que es cierto si $x>y$

Answer 5

Conceptualmente, céntrate en $|x-y|$ como la diferencia absoluta de los dos números.

Sin pérdida de generalidad, supongamos que $x > y$ . Entonces $y + |x - y| = x$ . Esto puede entenderse como la representación de que si sumamos la diferencia entre dos números al menor, obtenemos el mayor.

La ecuación específica se desprende naturalmente de esta observación.