Esta es la pregunta 7.2.3 en Liu libro de Geometría Algebraica y Aritmética de Curvas y yo hemos estado tratando con esto por algún tiempo ahora.
Deje $f:X \rightarrow Y$ ser una de morfismos de Noetherian esquemas, y suponga que X y y son integrales y que f es finito surjective. Vamos a dejar que $Div(Y)$ resp. $Div(X)$ soporte para los Divisores de Cartier en Y resp. X.
Asociado a un divisor de Cartier $D \in Div(Y)$ tenemos una noción de multiplicidad en un punto de $y \in Y$, definido como: $$\text{mult}_y D = \text{length } \mathcal{O}_{Y,y}/D_y \mathcal{O}_{Y,y}.$$
Estoy tratando de mostrar que para un Divisor de Cartier $D \in Div(Y)$, $$\text{mult}_x f^\ast(D) = \text{length } \mathcal{O}_{X,x}/(\mathcal{m}_y\mathcal{O}_{X,x}) \cdot \text{mult}_y(D)$$ donde $m_y$ es el ideal maximal de a $\mathcal{O}_{Y,y}$.
Ahora, es muy fácil hacer esto, si f es un plano de morfismos, ya que simplemente podemos utilizar 50.13 de este documento http://stacks.math.columbia.edu/download/algebra.pdf (Pilas, Álgebra). Pero no veo cómo hacerlo en el caso general, y he estado tratando durante algún tiempo, por lo que cualquier sugerencia sería bueno.
Gracias!
