Deje $(B_t)_{t \geq 0}$ ser un movimiento Browniano. Olvidemos por el momento todo lo que ya sabemos acerca de las integrales estocásticas y comenzar en el comienzo de la historia:
Nos gustaría definir una integral estocástica $\int \dots \, dB_r$ con respecto al movimiento Browniano. Las propiedades que esperamos que el estocástico integral?
Deseo Nº 1: La integral estocástica debe ser un aditivo de asignación, es decir, $$\int_0^t (G(r)+H(r)) \, dB_r = \int_0^t G(r) \, dB_r + \int_0^t H(r) \, dB_r$ $ cada vez que podemos hacer sentido de las integrales.
Deseo Nº 2: Nos gustaría tener a $$\int_0^t dB_r = B_t-B_0$$.
Deseo Nº 3: .... es una especie de sacar a la propiedad. Si una variable aleatoria $\xi$ no dependen de los valores de $(B_r)_{r > s}$, $$\int_s^t \xi \, dB_r = \xi \int_s^t \, dB_r$ $ ("sacar lo que se conoce").
Si combinamos estas tres propiedades, nos encontramos con que el concepto de integral de una función simple de la forma
$$H(r,\omega) = \sum_{j=1}^n \xi_j(\omega) 1_{[t_{j-1},t_j)}(r)$$
(donde $t_0< \ldots < t_n \leq T$ $\xi_j$ $\mathcal{F}_{t_{j-1}}$medible) está dada por
$$\int_0^T H(r) \, dB_r = \sum_{j=1}^n \xi_j (B_{t_j}-B_{t_{j-1}}) = \sum_{j=1}^n H(t_{j-1}) (B_{t_j}-B_{t_{j-1}}). \tag{2}$$
Hasta ahora todas las integrales pueden ser interpretados como pointwise ($\omega$-wise) integrales, y, por otra parte, tenemos una bonita interpretación de las integrales.
La mala noticia: la Definición de la integral estocástica
$$\int_0^t H(r) \, dB_r$$
como pointwise límite de sumas de Riemann de la forma $(2)$ funciona sólo en una muy pequeña clase de integrands $H$; esto está estrechamente relacionado con el hecho de que el movimiento Browniano tiene casi seguramente sin límites de variación (ver esta respuesta para obtener más detalles). Por ejemplo, si $H:[0,1] \to \mathbb{R}$ es una asignación continua, no podemos esperar que el límite de las sumas de Riemann
$$\lim_{n \to \infty} \sum_{j=1}^n H((j-1)/n) (B_{j/n} -B_{(j-1)/n})$$
existe la probabilidad de $1$.
La buena noticia: podemos considerar simplemente un tipo diferente de convergencia. Casi seguro que la convergencia de una sucesión es una bastante fuerte de la asunción, y por lo tanto es muy natural considerar las formas más débiles de la convergencia. La elección más natural es claramente la convergencia en probabilidad (o, alternativamente, la convergencia en $L^2$). Resulta que el límite de las sumas de Riemann convergen muy bien en la probabilidad, y esto nos permite definir la integral estocástica de una gran clase de integrands. Algunas cosas buenas sobre esta definición:
Casi seguro de convergencia implica la convergencia en probabilidad. Esto significa que si tenemos una integrando $H$ para que la integral de la $\int_0^t H(r) \, dB_r$ puede ser definido pathwise como el límite de sumas de Riemann, entonces ambas nociones coinciden.
Si $(H_t)_{t \geq 0}$ es un continuo adaptado proceso, entonces $$\sum_{j=1}^n H(t_{j-1}) (B_{t_j}-B_{t_{j-1}}) \stackrel{n \to \infty}{\to} \int_0^t H(r) \, dB_r \quad \text{in probability}$$ for any sequence $\Pi_n = \{0=t_0 < \ldots < t_n = t\}$ of partitions of $[0,t]$ with mesh size converging to $0$. Tenga en cuenta que esto implica en particular que existe una larga que converge casi seguramente.
- La misma obra de construcción de una mucho más grande de la clase de la conducción de los procesos; por ejemplo, se puede sustituir fácilmente a $(B_t)_{t \geq 0}$ por una martingala con la muestra continua de caminos.
Espero que esta respuesta le dio una idea de por qué
... Las sumas de Riemann de pop-up en el Itô teoría a pesar de la integral de Itô no se define como una integral de Riemann (a saber, porque queremos tener $(2)$ para las funciones simples)
... no hay nada de mágico. Pointwise convergencia no funciona, pero considerando una forma más débil de convergencia podemos deshacernos de este problema y obtener un buen cálculo estocástico para una gran clase de integrands.
