Demostrar la inexistencia de un límite

Question

Aquí hay una pregunta de tarea que estoy tratando de resolver:

Demostrar o refutar: si $\lim_af$ y $\lim_ag$ no existen, entonces $\lim_a(f \cdot g)$ tampoco existen.

Así que sé que $$(\forall l\in\mathbb{R})(\exists\epsilon\gt0)(\forall\delta_1\gt0):(\|x-a\|\lt\delta_1)(\rightarrow\|f(x)-l\|\ge\epsilon/2)$$ $$(\forall m\in\mathbb{R})(\exists\epsilon\gt0)(\forall\delta_2\gt0):(\|x-a\|\lt\delta_2)(\rightarrow\|g(x)-m\|\ge\epsilon/2)$$

Ahora bien, como esto es cierto para todo $l,m\in\mathbb{R}$ también es cierto para cada $r\in\mathbb{R}, r=m\cdot n$ . Del mismo modo, las dos afirmaciones son válidas para cada $\delta\gt0$ entonces $$(\forall r\in\mathbb{R})(\exists\epsilon\gt0)(\forall\delta\gt0):(\|x-a\|\lt\delta)(\rightarrow\|f(x)-l\| \cdot \|g(x)-m\|\ge\epsilon/2 \cdot \epsilon/2)$$

¿Cómo continúo a partir de aquí, suponiendo que haya acertado hasta ahora?

Gracias

Answer 1

La afirmación es falsa, por ejemplo deja $$\begin{align}f(x)&=\begin{cases} 1 \text{ if $x$ is rational} \\ 2 \text{ if $x$ is irrational}\end{cases} \\ g(x)&=\begin{cases} 1 \text{ if $x$ is rational} \\ 1/2 \text{ if $x$ is irrational}\end{cases}\end{align}$$ Entonces tampoco $\lim_{x \to 0}f(x)$ ni $\lim_{x \to 0} g(x)$ existe, pero $(f \cdot g)(x)=1$ para todos $x$ y así $\lim_{x \to 0}(f \cdot g)(x)=1$ .

Answer 2

La afirmación es falsa. Si fuera cierta, habría que demostrar que lo es en todos los casos. Pero, como es falsa, sólo necesita una contraejemplo es decir, un ejemplo concreto en el que la afirmación es falsa.

Un contraejemplo sencillo sería el caso de tener dos funciones f(x) y g(x) cuyo producto sea una constante. Un ejemplo muy sencillo sería:

$\begin{align}f(x)&=\begin{cases} -1 \text{ if $x < 0$} \\ 1 \text{ if $x\geq 0$}\end{cases}\\g(x)&=\begin{cases} 1 \text{ if $ x < 0 $} \\ -1 \text{ if $ x\geq 0 $}\end{cases}\end{align}$

En ambas funciones hay una discontinuidad en x = 0.

De las dos definiciones anteriores se desprende $\lim_{x\to 0}f(x)$ no existe, lo que puede demostrarse fácilmente calculando los límites unilaterales:

$\lim_{x\to 0^+}f(x) = 1$ (es decir, el límite de f(x) a medida que x se acerca a 0 desde la derecha es 1)

$\lim_{x\to 0^-}f(x) = -1$ (es decir, el límite de f(x) a medida que x se acerca a 0 desde la izquierda es 1)

Como puedes ver, los límites unilaterales existen, pero son diferentes; por lo tanto, el límite no existe. Aquí tienes una representación gráfica de f(x) y los límites unilaterales:

Lo mismo ocurre con $\lim_{x\to 0}g(x)$ que tampoco existe:

$\lim_{x\to 0^+}g(x) = -1$

$\lim_{x\to 0^-}g(x) = 1$

Sin embargo, si intentas definir la función f(x)g(x), obtendrás:

$\begin{align}f(x)g(x)&=\begin{cases} (-1)\times(1) = -1 \text{, if $x < 0$} \\ (1)\times(-1) = -1 \text{, if $x\geq 0$}\end{cases}\end{align}$

Por lo tanto, f(x)g(x) = -1 para cualquier x real. Entonces, $\lim_{x\to 0} f(x)g(x)$ existe y es igual a -1.

Nota: También puede comprobar que $\lim_{x\to 0} (f+g)(x) = 0$ .