Mostrar que los anillos cociente no son isomorfos

Question

Me han dado una tarea problema que requiere de mí para demostrar que los anillos de $\mathbb{C}[x,y]/(y - x^2)$ $\mathbb{C}[x,y]/(xy-1)$ no son isomorfos.

Este es mi intento de solución:

Para $\mathbb{C}[x,y]/(y - x^2)$, se puede parametrizar de la siguiente manera: $x = t$$y = t^2$. A continuación, este anillo es isomorfo a $\mathbb{C}[t]$.

Para $\mathbb{C}[x,y]/(xy-1)$, podemos parametrizar $x = t$$ y = 1/t$. Entonces este es isomorfo a $\mathbb{C}[t, 1/t]$.

Pero $\mathbb{C}[t, 1/t]$ no es isomorfo a $\mathbb{C}[t]$.

Estoy en el camino correcto? Si no, cualquier útiles sugerencias?

Answer 1

Aquí es mi forma favorita de decir $\Bbb C[t]$ $\Bbb C[t,t^{-1}]$ aparte.

¿Sabe usted que las unidades de $\Bbb C[t]$ son sólo la constante distinto de cero de las funciones? Eso significa que el subconjunto $\Bbb C$ es el conjunto de unidades a lo largo de con el elemento cero, que es aditiva cerrado.

Pero, ¿qué acerca de la $\Bbb C[t,t^{-1}]$? Es la suma de dos unidades de nuevo una unidad o cero? O puede usted encontrar dos unidades tales que su suma es ni la unidad ni el cero? (Es muy fácil!)

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(Añadido posterior)

Yo sólo quería poner de relieve la forma general de esta solución. Usando el mismo razonamiento, se puede demostrar que para cualquier campo $F$, $F[t,t^{-1}]$ no es isomorfo a un polinomio anillo sobre cualquier campo que sea. No depende de que el campo se $\Bbb C$ ni estipular que los campos se comparte entre los dos.

Dado los campos $F_1, F_2$, las unidades de $F_1[t]$ con cero son de forma aditiva cerrado, mientras que las unidades de $F_2[t,t^{-1}]$ no comparten esta propiedad.

Answer 2

Si dos anillos son isomorfos, entonces sus grupos unitarios son isomorfos.

En este caso $\mathbb{C}[t]^{\times}\simeq \mathbb{C}^{\times}$, mientras que $\mathbb{C}[t,t^{-1}]^{\times}\simeq\mathbb C^{\times}\times\mathbb Z$. Pero lo grupos $\mathbb C^{\times}$ y $\mathbb C^{\times}\times\mathbb Z$ no son isomorfos por una razón obvia: el primero es divisible, mientras que el segundo no.

Answer 3

Para mostrar que $\mathbb C[t,\frac 1t] \not \simeq \mathbb C[t]$, usted puede encontrar su automorphism grupos.

Cualquier automorphism de el anillo de la izquierda debe enviar $t$ a algo invertible. El único elemento invertible de $\mathbb C[t,\frac 1t]$ son las constantes y $t^n$$n \in \mathbb Z \backslash \{ 0\}$. Por lo tanto los automorfismos son dadas por $t \mapsto ct^n$$n \neq 0$.

En particular, el automorphism grupo abelian!

Ahora, ¿qué acerca de la automorphism de $\mathbb C[t]$? Sugerencia: contiene las traducciones y las multiplicaciones escalares, y es que no abelian.