¿Cuáles son las razones de por qué algunos símbolos en la lógica matemática no están estandarizados?

Question

¿Por qué es tan difícil encontrar una normalización con respecto simbolismo y/o terminología de la Lógica Matemática ?

Vemos una y otra vez pidiendo a los estudiantes que si por ejemplo, $\rightarrow$ $\implies$ significa la misma cosa : alguien responda : "sí", alguien responda : "no".

Lo mismo ocurre con la "tautología" y "validez", con la "consecuencia lógica" y "implica lógicamente", y así sucesivamente ...

¿Por qué es este problema que aún están con nosotros, y qué podemos hacer al respecto?

Answer 1

Creo que hay más de una causa de mis ideas:

La lógica simbólica es todavía un razonablemente nuevo campo. (Diferente de lo que usted puede pensar que la lógica simbólica no comenzó con los antiguos Griegos, pero con Frege la Begriffsschrift en 1879 , ni siquiera hace 150 años, y ni siquiera se trata de seguir su notación)

Algunos filósofos pensaban que no todo lo nuevo acerca de la lógica ya y ni siquiera de estudiar y por lo tanto nunca fueron confrontados con la notación estándar.

Algunos lógicos necesarios otro tipo de implicación (relevante, estricta, material ) negación (mínimo, sub mínimo, constructiva) o vinculación (estándar , borroso, casi , grado), por su propia lógica y creó su propio símbolo nuevo para él.

Algunos lógicos estaban comparando las diferentes lógicas y decidió utilizar un conjunto diferente de las conectivas para no conseguir absolutamente confundido.

Una pareja comenzó su propia notación, porque ellos no estaban satisfechos con el antiguo. (Notación polaca, la notación de punto, comprimido notación de punto, notación Lambda )

y tal vez algunos querían confundir a todo el mundo :)

Para agregar un poco:

incluso con truthtables ver estas cosas:

• En algunas publicaciones, $0$ es sinónimo de verdad
• En otras publicaciones $1$ es sinónimo de verdad.

Y eso es sólo con dos valores de la lógica.

Si tienes la suerte de tener un libro que usa $T$ $F$ o $T$$\bot$.

En cualquier caso el $T$ es sinónimo de verdad, y el $F$ o $\bot$ falso.

Pero, aún así, se advirtió , compruebe siempre el significado de la primera.

Answer 2

¿Por qué es tan difícil encontrar una normalización con respecto simbolismo ... en la Lógica Matemática ?

Así, si se compara la situación con (digamos) de cincuenta a sesenta años, el tiempo cuando los libros que yo estaba buscando a un estudiante por escrito -- me han dicho que ha habido un considerable número de normalización en el simbolismo, al menos en la corriente dominante de la lógica matemática de libros y/o artículos. Y una de las razones de que, sin duda, ha sido la adopción universal de Látex, lo que hace que sea tan fácil de escribir \de la tierra [para 'lógico y'] y siempre lo consigue '$\land$' (y no '&', o un punto, etc.) y para el tipo de \forall x y '$\forall x$' (y no por ejemplo, '$(x)$ ' o '$\Pi x$'). Así que, vamos a ser debidamente agradecido por toda la estandarización en realidad ahora es!

Cierto que es molesto de negocios con $\to$ vs $\implies$. Esto también es parte de abajo al Látex supongo que, como \implica rendimientos de la segunda. Ahora 'A implica B" se utiliza en la charla informal, tanto como variante de "si a entonces B" y como una variante de 'Una, lógicamente, implica B", es decir, como tanto lo que me podría regimiento como $A \to B$ y $A \vdash B$ o $A \vDash B$]. Y bajo y he aquí, nos encontramos con $\implies$ confusamente utilizado en ambos sentidos [en el objeto de lenguaje, o en el metalenguaje]. El conservadurismo en el simbolismo es una Buena Cosa, así que creo que el uso de $\implies$ deprecated: yo diría que, el uso de $\to$ para un objeto de lenguaje condicional, y la adecuada torniquete en el metalenguaje. La excepción podría ser en un secuente cálculo. [De hecho, fue sólo cuando empecé a visitar de manera regular a las matemáticas.se que realmente me registré, que la doble flecha fue utilizado en la no-secuente-cálculos tan ampliamente fuera de la estrecha lógica de la comunidad estaba más familiarizado con -- a pesar de que sólo podría mostrar en realidad no estaba prestando atención!]

Answer 3

Parafraseando a Bill Thurston, la matemática es sólo una forma de organizar el pensamiento humano. El propósito de la notación matemática es para ayudarnos a entender el uno al otro.

Una razón por la que diferentes se utiliza la notación es que el mismo concepto se puede comparar o contrastar a diferentes cosas en diferentes situaciones. Por ejemplo, recientemente he discutido las diversas división de símbolos con alguien:

La fracción de la notación $\frac{a}{b}$ es la más útil a la hora de simplificar las ecuaciones con la mano.

La división larga notación es más útil a la hora de calcular los valores exactos.

La barra inclinada / es ideal para equipos como funciona con un teclado normal.

El 'obelus' ÷ se utiliza en las calculadoras porque las otras notaciones son diferentes de +,-, x y.

Creo que tratando de estandarizar la división sería contraproducente.

Ahora, la lógica matemática es diferente a la de la aritmética, pero las mismas verdades espera. Russell y Whitehead se utiliza la notación más útil para puro cálculo simbólico, pero esto puede no ser la mejor de la notación para escribir en la pizarra o en la escritura de un programa de ordenador.

TL;DR notación Matemática está diseñado para expresar el pensamiento, tan claramente como sea posible, y la estricta estandarización hace que esto sea difícil.

Answer 4

Las otras respuestas no parecen haber abordado directamente el punto sobre la implicación $\rightarrow$ o $\implies$, por lo que voy a señalar que (no lógico) matemáticos sobre todo el uso de $\implies$, mientras que los lógicos más a menudo el uso de $\rightarrow$. Posiblemente esto es debido a que los lógicos uso mucho más, por lo que, finalmente, uno de las capturas en que es inútil para dibujar dos líneas cuando se puede dibujar uno. Ya que estamos hablando de dos científicos diferentes culturas, la diferencia en la notación puede estar con nosotros para el futuro previsible. Para la comparación, tenga en cuenta que los físicos a menudo el uso de notación diferente (de lo que los matemáticos son utilizados a) por diferentes conceptos matemáticos.

Answer 5

Con respecto a la ambigüedad entre la implicación $\rightarrow$ y vinculación a $\Rightarrow,$ que el problema es que la mayoría de las teorías tienen una deducción del teorema, el cual tiene la consecuencia de que las siguientes sentencias son equivalentes.

$$\varphi \Rightarrow \psi,\quad\quad \Rightarrow \varphi \rightarrow \psi$$

Además, cada fórmula $\alpha$ puede ser visto como una copia de la sentencia $\Rightarrow \alpha$. Así que, en cierto sentido (tanto como me duele), los siguientes son equivalentes.

$$\varphi \Rightarrow \psi,\quad\quad \varphi \rightarrow \psi$$

Esta es probablemente la causa de una gran cantidad de ambigüedad, pero también sugiere que no debemos preocuparnos; decir que estas cadenas de símbolos "true" equivale a aproximadamente el mismo significado, por lo que la ambigüedad no es demasiado problemático. (Por otro lado, afirmar que la primera cadena de símbolos es falso, es muy diferente a decir que la segunda cadena de símbolos es falso.)