Número esperado de corridas de longitud n en sorteo

Question

Estoy escribiendo un programa para una asignación para mi curso de Probabilidad y Estadística. Este programa realiza varios millones de simulación de lanzar una moneda y, a continuación, se analizan varias de las propiedades de la secuencia generada.

Una de las cosas que hace es contar cuántos funciona, genera una secuencia de contener, y sus longitudes. Uno de los resultados de 10.000.000 de lanzamientos es:

Número de carreras de longitud 1 es: 2500986
Número de carreras de longitud 2 es: 1246647
Número de carreras de longitud 3 es: 625656
Número de carreras de duración 4: 311689
Número de carreras de longitud 5 es: 156673
Número de carreras de longitud 6 es: 78464
Número de carreras de duración es 7: 39253
Número de carreras de longitud 8, es: 19547
Número de carreras de longitud de 9: 9866
Número de carreras de duración de 10 o más es: 9818

Ahora, mi problema es el siguiente: necesito comparar el resultado adquirido por la simulación teórica de la expectativa de todo tipo. Básicamente, necesito que el mismo resultado que el anterior, calculado sobre el papel.

Un patrón en los resultados obviamente existe, pero yo no puedo encontrar una fórmula. Nadie, ayuda por favor?

Answer 1

Usted puede simplemente utilizar la distribución geométrica, lo que le da la probabilidad de que un determinado número de Bernouilli ensayos antes de un éxito o en este caso antes de que la serie está roto. La distribución está dada como sigue :

P = (1-p)^(k) * p

con p = .5 para una feria de la moneda y k = 1 : 9

La idea es calcular la probabilidad conjunta de k consecutivos cabeza/cola y una cola con la cabeza :

P{cola, cola,..., la cabeza} = P{cola}^k * P{head}.

A continuación, se multiplica esta probabilidad por 10^7 el número de ensayos en su simulación.

Los resultados son los siguientes :

1. 2,500,000
2. 1,250,000
3. 625,000
4. 312,500
5. 156,250
6. etc.

que están muy cerca de los resultados de la simulación...

Para el caso de una longitud de 10 o más, usted tiene que hacer 1-(otros prob, incluyendo k=0), que da 9765.625.

Usted puede calcular estas probabilidades fácilmente en R con P <- dgeom(1:9, prob=.5) y para P(10) : P <- 1 - sum(dgeom(0:9, prob=.5))

Answer 2

Tienes n independientes Bernoulli rv, $X_1, X_2, ..., X_n$ $P(X_i=1)=P(X_i=0)=p=1/2$. Generar bits n $b_1, b_2, ..., b_n$, como observaciones en esta secuencia. Deje N sea el rv dando el número de carreras de uno, por ejemplo, en la secuencia simulada de bits. $N=\sum_{i=1}^n Y_i$, donde $Y_i$ es la variable aleatoria que toma el 1 como valor si $b_i$ es el bit a partir de un funcionamiento y 0 lo contrario. $E(Y_1)=P(Y_1=1)=p$ mientras que para el $i=2,...,n$ $P(Y_i=1)=P(X_{i-1}=0, X_i=1)=(1-p)p.$ por lo tanto el valor esperado de N es $E(N)=p+(n-1)(1-p)/p$