Una función con discontinuidades contables es Borel medible.

Question

Deje $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ ser delimitada con contables discontinuidades. Mostrar que $f$ es Borel medible.

Una solución utiliza el hecho de que Una función en un intervalo compacto [a, b] es Riemann integrable si y sólo si es acotada y continua en casi todas partes.

Pero, ¿es posible solucionar este problema de manera similar a lo finito discontinuidad de los casos? En otras palabras, $\{f>t\}$ puede ser descompuesto algo como $\bigcup_n \{f_n>t\}\cup\{\text{discontinuous points}\}$? Si el discontinuites era finito, entonces sólo puedo ordenarlas de manera que era posible. Pero no sé método similar es posible contables de los casos. (Será bueno, entonces no necesitamos la condición de $f$ es limitada.)

Answer 1

Deje $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ ser una función de conteo, discontinuidades, y deje $c\in\mathbb{R}$. Debemos demostrar que $f^{-1}(-\infty,c)$ es medible.

Deje $A=\text{int}f^{-1}(-\infty,c)$ (el interior es tomado en $[a,b]$) y $D=f^{-1}(-\infty,c)\setminus A$. Desde $A$ está abierto, no es medible, y desde $f^{-1}(-\infty,c)=D\cup A$, sólo nos queda por demostrar que $D$ es medible. Pero aviso que si $x\in D$, $x$ no es un punto interior de a $f^{-1}(-\infty,c)$, es decir, por cada $r>0$ existe $y$ tal que $|y-x|<r$ pero $f(y)\geq c$. Desde $f(x)<c$, lo que significa que $x$ es un punto de discontinuidad de $f$. Por lo tanto, $D$ es en la mayoría de los contables, por lo tanto medibles.

Ese argumento puede ser utilizado para cualquier $f:E\subseteq\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ que es Lebesgue-medible, donde $E$ es Lebesgue-medible subconjunto de $\mathbb{R}^n$, y para el que el conjunto de discontinuidades de $f$ cero Lebesgue-medida.

(Yo estoy usando la siguiente definición: una función de $f:E\rightarrow\mathbb{R}$ (Borel-)medibles iff para todos $a\in\mathbb{R}$, $f^{-1}(-\infty,a)$ es un (Borel-)medibles conjunto. Se puede demostrar fácilmente que cualquier función que satisface esa condición también se cumple la siguiente: para cualquier Borel medible subconjunto $A$ de $\mathbb{R}$, $f^{-1}(A)$ es un (Borel-)subconjunto medible de $E$)