Ideal generado por dos elementos (pregunta de notación)

Question

dados dos elementos $r$ , $s$ en un anillo $R$ ¿son equivalentes las dos notaciones siguientes?

• $(r,s)$
• $(r)+(s)$

Por ejemplo, en el anillo $\mathbb{Z}[X]$ es $(2,X)=(2)+(X)$ ?

Muchas gracias.

Answer 1

Suponiendo que se refiere a $R$ para ser conmutativo o ideal para ser de dos caras: Sí, lo es: por la definición, $(r,s)=\{rx+sy|x,y\in R\}$ .
Por otro lado, $(r)+(s)=\{ax+by|a\in(r),b\in(s),x,y\in R\}$ que es el mismo desde $a\in(r)$ implica que $a=r\alpha$ .

Answer 2

Por definición, $(r,s)$ es el ideal más pequeño que contiene a ambos $r$ y $s$ .

Por definición, $(r)+(s)$ es la suma de los ideales generados por $r$ y $s$ .

Que estos dos son iguales es en realidad un teorema fácil.

En general, si $A$ y $B$ son subconjuntos de $R$ entonces $(A,B)$ o $\langle A,B\rangle$ denota el ideal más pequeño de $R$ que contiene tanto $A$ y $B$ . Si $I$ y $J$ son dos ideales de $R$ entonces $I+J$ denota el conjunto $\{ i + j : i\in I, j\in J\}$ . Es un teorema fácil que $I+J=\langle I,J\rangle$ y así $\langle A,B\rangle = \langle A \rangle + \langle B\rangle$ .