$(-32)^{\frac{2}{10}}\neq(-32)^{\frac{1}{5}}$?

Question

¿Es exponentiation de números racionales definidos sólo por fracciones simples?

$(-32)^{\frac{2}{10}}=\sqrt[10]{(-32)^2}=\sqrt[10]{1024}=\pm2$ (y $8$ otras raíces complejas)

$(-32)^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{(-32)^1}=\sqrt[5]{-32}=-2$ (y $4$ otras raíces complejas)

¿Cómo resolver este conflicto?

Answer 1

De los varios diferentes, pero relacionados con las definiciones de la exponenciación, el que acepta un exponente racional debería ser formulada para excluir bases negativas, con el fin de evitar precisamente este problema.

De hecho, la única de la que suele aparecer definiciones que dan sentido a un entero negativo a un no-poder integral es el de los números complejos, que viene con sus propios problemas de multivalor.

Uno podría elegir para definir $a^{1/n}$ arbitrarias real $a$ y extraño $n$ a raíz de la extracción -- pero de nuevo esto no escala bien a otros exponentes racionales, y, en general, no es realmente pensado para ser vale la pena mantener este caso especial cuando uno sólo puede escribir $\sqrt[n]{a}$ lugar.

Alternativamente, uno podría gusano de todo el problema definiendo $a^{p/q}=\sqrt[q]{a^p}$ si y sólo si $p/q$ es en términos mínimos, pero no estoy al tanto de cualquier uso de este algo tortuoso interpretación, excepto como una forma de obtener la calidez y la alegría de haber definido la exponenciación con un poco más grandes de dominio que el hombre utiliza.

Answer 2

Por favor lea este. En general, $c^a=e^{a \log c}$ cuando $c\in\mathbb{C}$ $a$ es una fracción va a producir una serie, así que cuando dices $c_1^{a_1}=c_2^{a_2}$, están comparando dos conjuntos. En particular, $$(-32)^\frac{1}{5}=2 (-1)^\frac{1}{5}=2 e^{i(\pi+2k\pi)\frac{1}{5}}=\{2e^{i\frac{\pi}{5}+n\alpha}|n=0,1,2,3,4,\alpha=\frac{2\pi}{5}\}$ $

$$(-32)^\frac{2}{10}=2 (-1)^\frac{2}{10}=2 e^{i(\pi+2k\pi)\frac{2}{10}}=\{2e^{i\frac{\pi}{5}+n\alpha}|n=0,1,2,3,4,\alpha=\frac{2\pi}{5}\}$$