Secuencia de ecuaciones diofánticas

Question

Hay algunos (enorme) entero positivo $M$ con la siguiente propiedad: para cualquier $z>M$, existen enteros positivos $x, y_{1}, y_{2},..., y_{z}$ tal que $x^x$ $=$ $y_{1}^{y_{1}}$+ $y_{2}^{y_{2}}$+ ... +$y_{z}^{y_{z}}$ ?

[Por favor, comentar que el $y$'s son $\geq$ $1$ y la necesidad de no ser necesariamente distintos.]

Como [bastante ingenuo] manera de atacar este problema [que (tal vez) ser relacionadas con algunas de las obras de Robinson, Matiasevich, M. Davis, y Chao-Ko], Estoy pensando en un montón de $1$'s, un montón de $2$'s, y un montón de $(x-1)$'s. Además, observemos que, si $z$ tiene esta propiedad y $y_{i}$ $=$ $2$ para algunos $i$, $z+3$ tiene la misma propiedad,...

Answer 1

Has intentado buscar en la densidad de los posibles $z$'s?

Creo que la respuesta puede ser "no". Aquí está mi heurística (la esperanza de que no es falso): el más pequeño $z$ podemos lograr con $x$ al menos $\frac{x^x}{(x-1)^{(x-1)}}\approx ex$, el segundo más pequeño sería de al menos $\frac{x^x-(ex-1)(x-1)^{(x-1)}}{(x-2)^{(x-2)}}\approx e^2x$ y así sucesivamente.

Deje $N$ ser un muy gran número entero. nos fijamos en el intervalo de $[1,N]$ y ver cómo muchos de esos $z$'s están en él. Del argumento anterior hay en la mayoría de las $\approx \frac{N}{e}+\frac{N}{e^2}+\cdots=\frac{N}{e-1}< N$ soluciones. Esto se contradice con su conjetura de que hay asintóticamente $\approx N$ soluciones (en términos de los valores de $z$)