Estoy tratando de entender por qué $1^{x}=1$ para cualquier $x\in\mathbb{R}$
¿Es correcto escribir $1^{x}$? ¿Como base 1 no debe ser igual a 1 $1^{x}$ a ser una función exponencial?
¿Es $1^{x}=1$ sólo porque se define para ser así?
Si es posible, consulte me un libro o un artículo que habla sobre este tema.
Usted no tiene que definir específicamente $1^x$ a ser algo. Se sigue de la definición de la exponenciación en general.
La historia es más o menos la siguiente: primero fue la exponenciación con exponentes de ser números naturales. Que es sólo repite la multiplicación de la base por sí misma. Entonces la gente se dio cuenta de que esta exponenciación obedece a la regla \begin{eqnarray} a^{n+m} = a^na^m. \end{eqnarray} Esto sugiere que si queremos definir $a^0$, entonces queremos satisfacer $a^m = a^{m+0} = a^ma^0$, por lo que es natural para definir $a^0 = 1$. Ahora, podemos usar la misma regla para ampliar esta operación para todas integral de los exponentes, es decir, positivo y negativo. Desde que desee $a^na^{-n} = a^{n-n} = a^0 = 1$, estamos obligados a definir $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Así, de esta manera se han definido exponenciación con arbitraria integral de los exponentes. Ahora, volviendo a la original exponenciación con números naturales, también aviso que \[(a^n)^m = a^{nm} \] y $a^1 = a$. Aplicar las mismas consideraciones como las anteriores, se ve obligado a definir $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$. De esta manera, se ha ampliado la exponenciación a todos los exponentes racionales. Tenga en cuenta que todas estas reglas implican que $1^x = 1$$x\in \mathbb{Q}$. Ahora, se extiende la presente para todos los verdaderos exponentes uso de continuidad, por lo que aún tiene $1^x = 1\;\forall x\in \mathbb{R}$.
Una vez que usted se mueve allá de la primaria temas, definiciones se vuelven mucho más fundamental en las matemáticas. Así, en un sentido formal, tienes razón que la razón por la $1^x = 1$ todos los $x \in \mathbb{R}$ es que la definición de $1^x$ hace de esta manera. El énfasis en las definiciones proviene de la utilización de pruebas de matemáticas; la única manera de hacer una rigurosa prueba acerca de la exponenciación es empezar con una definición rigurosa. Así, en un sentido, todos formal de la matemática proposiciones son verdaderas porque las definiciones que se han elegido para hacerlos realidad.
Sin embargo, tenemos una clara motivación detrás de la exponenciación, y si la definición de número real exponenciación no hacer $1^x = 1$ para todos los verdaderos $x$, entonces la definición se han cambiado. Nosotros no constituyen definiciones matemáticas al azar -, motivado por nuestro informal de ideas acerca de los objetos que estamos estudiando.
El papel de esta motivación se puede ver más claramente al considerar el complejo de exponenciación. A diferencia de número natural exponenciación, número complejo exponenciación no se basa en la multiplicación repetida; se basa en logaritmos y la función de $\exp(z)$. De modo que la definición de complejo de exponenciación no implica que $1^i = 1$, y los matemáticos están de acuerdo con eso. Hay varios posibles valores de $1^i$, de las cuales sólo una es $1$. He explicado esto en esta respuesta.
Una cosa que a menudo es confuso al principio, es que no son muy diferentes de exponenciación funciones, con diferentes dominios, todo lo cual se denota con la notación $x^y$.
Por último, se preguntó si $f(x) = 1^x$, como una función de $\mathbb{R}$ a sí mismo, es una función exponencial. Muchos de cálculo libros parecen incluir una cláusula especial en sus definiciones, lo que hace que esta no sea una función exponencial. Sin embargo, las cosas funcionan igual de bien si usted hizo llamar a una función exponencial. Es sólo una cuestión de terminología. La única desventaja de llamar a $1^x$ una función exponencial es que, en el momento de definir algunos de los resultados, puede que tenga que añadir una excepción para deshacerse de $1^x$. En lugar de decir "Cada función exponencial" le dicen "Cada función exponencial con la excepción de $1^x$". Por supuesto, los estudiantes en una clase de necesidad de la adopción de las convenciones de la clase para que todos puedan entender. Pero si estuviera escribiendo un libro de matemáticas solo en una isla desierta podría adoptar independientemente de la terminología que usted quería.
Creo que, al menos de acuerdo en que $1^x$=$1$ si $x$ es cualquier número natural (ya que esto es sólo 1 veces sí x veces). Podemos extender a todos los valores enteros de a $x$ mediante el uso de los hechos $a^0$=$1$ para todos los no-cero $a$ y $x^{-c}$=$1\over{x^c}$. Luego tenemos a $1^x$=1 para todos los números racionales $x$ por el hecho de $1^{b\over{c}}$ es la cth raíz de $1^b$ que es 1 de los resultados anteriores. Finalmente nos exdend esta para todos los valores reales de a $x$ mediante la siguiente definición de la función exponencial de cálculo.
"Si $t$ es irational, a continuación, $a^t$ se define como el límite cuando n se acerca a infinito de $a^{t_n}$ donde {$t_n$} es cualquier secuencia de números racionales convergentes a $t$ (suponiendo que este límite existe)."
En el caso de $1^t$ ya tenemos eso $1^{t_n}=1$ para todos racional $t_n$, por lo que cualquier secuencia de como se describió anteriormente es la constante de la secuencia, 1,1,1,..... que converge a 1.
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