Campo vectorial invariante a la izquierda en SO(3)

Question

Tengo un grupo de Lie, concretamente en SO(3), es decir $SO(3,\mathbb{\mathbb{R}})=\left\{ A\in GL\left(3,\mathbb{R}\right)\mid A^{T}A=\mathbb{1},\,\det\left(A\right)=1\right\}$ . Tengo una acción Izquierda $L_g$ y sé que por definición un campo vectorial invariante a la izquierda es un campo vectorial tal que $$(L_g)_{\ast}(X_e)=X_g$$ Trabajé algunas cosas con el espacio tangente a la identidad y llegué a formular la idea de que éste debería ser un campo vectorial invariante a la izquierda en $SO(3)$ : $$L_{\mathbf{1}}=y\frac{\partial}{\partial z}-z\frac{\partial}{\partial x}$$ Pero ahora cómo demostrar efectivamente que es invariante izquierda. ¿Puede alguien mostrarme el cálculo que hay que ver una vez en la vida? ¿O al menos dar una referencia que realmente muestra la técnica de cálculo?

Answer 1

Este tipo de fórmula sólo funciona cuando se tiene la acción del grupo de mentiras $G = SO(3)$ en algún múltiple $M$ en este caso, el espacio euclidiano $\mathbb{R}^3$ . Entonces $G$ actuar $M$ por $(g,x) \mapsto gx$ .

Un campo vectorial invariante a la izquierda $V$ en $G$ induce un campo vectorial en $M$ tal que el flujo en $M$ es: $${\gamma(t,x) = \exp(tV)x,}$$ donde $\exp: \mathfrak{g} \rightarrow G$ es el mapa exponencial. Definimos el campo vectorial inducido $\tilde{V}$ en $M$ por: $${\tilde{V} = \frac{d}{dt}\exp(tV)x|_{t=0}.}$$ Entonces hemos definido un mapa $\mathfrak{g} \rightarrow \mathfrak{X}(M)$ por $V \mapsto \tilde{V}$ .

En su caso, tome un elemento de $\mathfrak{so}(3)$ (el álgebra de mentira de $SO(3)$ por ejemplo: el espacio tangente a la identidad), a saber:

$$X = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$ (Puede ver que se trata de un elemento de $\mathfrak{so}(3)$ porque es una matriz antisimétrica).

Entonces su campo vectorial inducido es $\tilde{X} = -z\frac{\partial}{\partial y} + y \frac{\partial}{\partial x}$ .