Encontrar $\frac{d^2y}{dx^2}$ en función de $x$ $\sin y+\cos y=x$

Question

Encontrar $\frac{d^2y}{dx^2}$ en función de $x$ $\sin y+\cos y=x$

OK poco confundido ya que mi libro da la respuesta a este problema como:

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\pm\frac{x}{\sqrt{(2-x^2)^3}}$$

Así que comencé solo en este tema así que mis métodos son un poco básicas pero lo que he hecho hasta ahora es distinguir $\sin y+\cos y=x$ para obtener:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y-\sin y}$$

Pero no estoy muy seguro sobre cómo obtener la segunda derivada como $\pm\frac{x}{\sqrt{(2-x^2)^3}}$

Se agradecería mucho alguna orientación en este caso.

Answer 1

Consejo: Tenemos, $$(\sin y + \cos y )^2 = x^2$ $

$$\sin 2y = x^2 -1 $$

$$ y = \frac{\arcsin (x^2 -1)}{2} $$

Answer 2

Diferenciando implícitamente w.r.t $x$ una vez cede $$y' = \frac{1}{\cos y - \sin y}$ $

Diferenciando esta implícitamente una más vez rendimientos $$y'' = \frac{y'(\sin y + \cos y)}{(\cos y - \sin y)^2} = \frac{\sin y + \cos y}{(\cos y- \sin y)^3} = \cdots$ $

---

Combinar lo anterior con el hecho de que $x^2 = 1+2\sin y\cos y \implies 2-x^2 = (\cos y - \sin y)^2$.

Answer 3

Tienes %#% $ #%

$$\frac{d^2y}{dx^2}=-(\cos y-\sin y)^{-2}(-\sin y-\cos y)\frac{dy}{dx}$$

También $$=\frac{x}{(\cos y-\sin y)^3}$$$x^2=1+2\sin y\cos y$% $ $ and $

Answer 4

conjunto de $u=y+\frac{\pi}4$ % que $u'=y'$y $u''=y''$, $\sin(y+\frac{\pi}4)= \frac1{\sqrt{2}}(\sin y + \cos y)$ $$ \sin u = \frac1{\sqrt{2}} x \\ u' \cos u = \frac1{\sqrt{2}} \\ u'' \cos u - (u') ^ 2 \sin u = 0 $$ por lo tanto,: u $$ '' = \frac{\sin u} {2 ^ {\frac32} \cos^3 u} \\ = \pm \frac{x}{2^{\frac32}(1-\frac{x^2}2) ^ \frac32} \\ = \pm\frac{x} {() 2-x ^ 2) ^ {\frac32}} $$