$(a-3)^3+(b-2)^3+(c-2)^3=0$, $a+b+c=2$, $a^2+b^2+c^2=6$. Demostrar que al menos uno de $a,b,c$ es 2.

Question

Suponga que $\{a,b,c\} \subset \Bbb R$, $(a-3)^3+(b-2)^3+(c-2)^3=0$, $a+b+c=2$, $a^2+b^2+c^2=6$.

Demostrar que al menos uno de los números de $a, b, c\ $ es de 2.

Esto es de una lista de problemas que se utilizan para la formación de un equipo de olimpiadas de matemáticas. He intentado utilizar el conocido Newton identidades y otros simétrica polinomio resultados, pero sin éxito (tal vez un enfoque equivocado). Lo siento si es un duplicado. Consejos y las respuestas son siempre bienvenidos.

Edit: Hay un problema con el original de la declaración de la pregunta en la fuente original. Bajo estos supuestos es imposible tener $a, b, c$ con valor de 2, como se vio en los comentarios y probado por las respuestas a continuación

Answer 1

Permítanme tratar. Tenga en cuenta que $2(ab+bc+ca) = a^2+b^2+c^2-(a+b+c)^2 = 2$, entonces el $ab+bc+ca=1$.

Tenemos %#% $ #%

$$(a-3)^3 + (b-2)^3+(c-2)^3 = 0$$

$$(a-3)^3+(b+c-4)(b^2+c^2+4-2b-2c-bc) = 0$$

$$(a-3)^3 + (-2-a)(6-a^2+4-2(2-a)-(1-a(2-a)))=0$$

$$(a-3)^3-(2+a)(-2a^2+4a+5)=0$$

$$3a^3-9a^2+14a-37=0$$

Resolver esta ecuación, obtienes $$3(a-1)^3+5(a-1)-29=0$ no es la raíz.

Si $a = 2$, entonces el $b=2$, $a+c=0$, que $a^2+c^2 = 2$, $a=1$ % pero no satisface la primera ecuación.

Semejantemente para $c=-1$.

Answer 2

Supongamos que $a=2$. Entonces $b+c=0$ y $b=-c$. La tercera ecuación da $b^2+c^2=2$ por lo tanto, $2b^2=2$ y $b^2=1$. Si $b=1$ y $c=-1$ y viceversa. Entonces $(2-3)^3+(1-2)^3+(-1-2)^3=-1-1-27=-29$. Lo mismo sucede cuando $b=-1$ y $c=1$.

Si $b=2$, entonces el $a=-c$ nuevo que sale con $a$ un o $1$ o $-1$. De cualquier manera la primera ecuación no mantiene. Algo similar sucede cuando $c=2$

Answer 3

Hay un problema con esta pregunta.

No existen soluciones reales, por ejemplo,$a\approx 3.12128,\space b,c\approx -0.56064\pm 1.47835i$.

Por otro lado, en $\mathbb R$ $\mathbb C$ si $a=2$, entonces el sistema $$-1+(y-2)^3+(z-2)^3=0\\y^2+z^2=2\\y+z=0$$ is incompatible and if $b$ or $c$ are equal to $2$ then the system $$(x-3)^3+(y-2)^3=0\\x^2+y^2=2\\x+y=0$$ es incompatible (es decir, ninguno de los dos sistemas tiene una solución).

Finalmente, la conclusión es que no existen números reales $a,b,c$ satisfacer las tres ecuaciones dado

$$\begin{cases}(a-3)^3+(b-2)^3+(c-2)^3=0\\a+b+c=2\\a^2+b^2+c^2=6\end{cases}$$

En consecuencia, no hay razón para que esto implica que $a, b$ o $c$ debe ser igual a $2$.

(Se podría argumentar que si el sistema es incompatible, a continuación, $a, b$ o $c$ debe ser igual a$2$, de modo que el sistema resultante es también incompatible.Esto no es cierto por hacer $a = 4$. Me detengo aquí sin hacer $b$ o $c$ distinc de $2$).

Answer 4

resolver la segunda ecuación para $c$ obtenemos $$c=2-a-b$ $ e insertar esto en (I) y (III) obtenemos después de cierta álgebra $$-9a^2+27a-35-6b^2+12b-3a^2b-3ab^2=0 (*)$ $ $$2a^2+2b^2+2ab-4a-4b-2=0$ $ resolviendo la última ecuación para $b$: %#% $ de #% insertar esto en la ecuación (*) obtenemos $$b_{1,2}=-1/2\,a+1\pm 1/2\,\sqrt {-3\,{a}^{2}+4\,a+8}$$$3\,{a}^{3}-9\,{a}^{2}+12\,a-41=0$% $ $ after some Algebra, and the solution is given by $el otro caso es Análogamente