La suma de dos continuo de las funciones periódicas es periódica si y sólo si la relación de sus períodos es racional?

Question

Hay varias preguntas aquí sobre el MSE acerca de la periodicidad de la suma de dos continuo, funciones periódicas. Esto es lo que sabemos hasta ahora:

• Es obvio que, si la proporción de los períodos es racional, la suma de las funciones será periódica con un periodo igual al MCM de los períodos individuales.

• Es relativamente fácil dar un contraejemplo para demostrar que la suma de dos continuo de las funciones periódicas no siempre es periódica, por ejemplo mediante la consideración de $\sin(x) + \sin(\pi x)$.

Mi corazonada es que, en realidad, la suma de dos continuo de las funciones periódicas es periódica si y sólo si la relación de sus períodos es racional. Primero de todo, ¿es esto cierto?

En segundo lugar, si bien es cierto, la parte suficiente es obvio, pero hay una prueba simple para mostrar la parte necesaria?

Por un "simple" prueba me refiero a uno que es accesible para alguien que no tenga amplio conocimiento formal de análisis o el álgebra. Este es el más cercano de prueba que podía encontrar, pero no puedo seguir bastante.

Answer 1

Deje $f,g$ ser continua y periódica, con período de $p,q$ donde $\alpha=\frac pq$ es irracional. Suponga $f+g$ es periódica con período de $r$. Deje $f(x_0)=\max f$$g(x_1)=\max g$. Entonces el conjunto $\{\,np+mq\mid n,m\in\mathbb Z\,\}$ es denso en $\mathbb R$. Deje $\epsilon>0$. Luego de algunos $\delta>0$, $|x-x_1|<\delta$ implica $g(x)>g(x_1)-\epsilon$. Deje $np+mq$ difieren en menos de $\delta$$x_1-x_0$. A continuación,$f(x_0+np)=\max f$$g(x_0+np)>\max g-\epsilon$. Llegamos a la conclusión de que $\max(f+g)=\max f+\max g$. Así que supongamos $(f+g)(x_2)=\max (f+g)=\max f+\max g$. A continuación, $(f+g)(x_2+nr)=\max(f+g)$ implica que también se $f(x_2+nr)=\max f$$g(x_2+nr)=\max g$. Al menos uno de $\frac rp$, $\frac rq$ es irracional, decir $\frac rp$ es irracional. Entonces el conjunto $\{\,x_2+nr+mp\mid n,m\in\mathbb Z\,\}$ es denso en $\mathbb R$ y llegamos a la conclusión de que $f(x)=\max f$ en este denso conjunto y, por tanto, de todo. Por lo tanto $f$ es constante.

En resumen: La suma de los dos no constante continua de las funciones periódicas con el inconmensurable períodos no es periódica.

Answer 2

$f(x+p)=f(x); g(x+p')=g(x) \rightarrow (f+g)(x)=f(x+kp)+g(x+k'p'); k \in \mathbb Z $ . Ahora, $f+g$ debe satisfacer tanto los períodos de $p,p'$, así:

Luego, durante un período, tenemos $$ x+kp=x+k'p'\rightarrow \frac {k}{k'}= \frac{p}{p'} $$.

EDIT: Mi reclamación: dado $f,g$ periódico, a continuación, $h:=f+g$ repite con precisión , es decir, iff $f,g$ simultáneamente repita, es decir, $h$ debe satisfacer los de los dos períodos de $f,g$. Esto ocurre precisamente cuando la relación de sus períodos es Racional.