¿Cómo es el de Lorenz indicador de condición de $\partial_\mu \overline{h}^{\mu \nu}=0$ equivalente a la armónica indicador de condición de $\Box x^\mu=0 $?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El truco aquí es sólo para emplear algún tensor de manipulaciones. Cuando vi por primera vez esta condición también pensé que era un poco extraño, ya que se trata de un segundo orden de la ecuación diferencial y el otro es un primero, ¿no? Sin embargo, normalmente se escribe el armónico o de Donder expansión como $\bar{h}^{\alpha \beta} = -\sqrt{-g}g^{\alpha \beta} + \eta^{\alpha \beta}$. Ahora, por definición de Laplace-Beltrami operador $\square$:
\begin{align} 0 &= \square x^{\mu} = g^{\rho \sigma} (\partial_{\rho} \partial_{\sigma} x^{\mu} - \Gamma^{\lambda}_{\rho \sigma} \partial_{\lambda} x^{\mu} )\\ &= g^{\rho \sigma} (\partial_{\rho} \delta^{\mu}_{\sigma} - \Gamma^{\lambda}_{\rho \sigma} \delta^{\mu}_{\lambda}) \\ &= - g^{\rho \sigma} \Gamma^{\mu}_{\rho \sigma} \tag{%#%#%} \end{align} Ahora, aunque sólo pedir prestado de la Wikipedia (http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_coordinate_condition): Considerar la derivada covariante de la densidad de $\ast$, tenemos que:
$\sqrt{-g} g^{\alpha \beta}$\ast\ast$$0 = g^{\mu \nu}_{;\rho} = (g^{\mu \nu} \sqrt{-g})_{,\rho} + g^{\sigma \nu} \Gamma^{\mu}_{\sigma \rho} \sqrt{-g} + g^{\mu \sigma} \Gamma^{\nu}_{\sigma \rho} \sqrt{-g} - g^{\mu \nu} \Gamma^{\tau}_{\tau \rho} \sqrt{-g} \tag{$$
Ya por la construcción de Levi-Cevita conexión de $}$ (esta es la definición) tenemos $\nabla$ y, por tanto, $\nabla_{\tau} g^{\alpha \beta} := g^{\alpha \beta}_{;\tau} = 0$ también (junto con contratada índice de versiones) se encuentra, por la contratación de los índices de $\sqrt{-g}_{;\alpha} = 0$$\rho$$\nu$:
$(**)$$
Cumplimiento de la armónica de la condición de $$ 0 = (g^{\mu \nu} \sqrt{-g})_{,\nu} + g^{\sigma \nu} \Gamma^{\mu}_{\sigma \nu} \sqrt{-g} + g^{\mu \sigma} \Gamma^{\nu}_{\sigma \nu} \sqrt{-g} - g^{\mu \nu} \Gamma^{\sigma}_{\sigma \nu} \sqrt{-g}$ ahora nos da que:
$(*)$$
Finalmente, dado que la métrica tensor es simétrico en sus índices (y por lo tanto también lo son las constantes de estructura (símbolos de Christoffel) $$0 = (g^{\mu \nu} \sqrt{-g})_{,\nu} + g^{\mu \alpha} \Gamma^{\beta}_{\alpha \beta} \sqrt{-g} - g^{\mu \alpha} \Gamma^{\beta}_{\beta \alpha} \sqrt{-g}$) tenemos:
$\Gamma$$
Que, recordemos, por definición, es:
$$0 = (g^{\mu \nu} \sqrt{-g})_{,\nu} = (g^{\mu \nu} \sqrt{-g})_{,\mu}$$
Desde los derivados de la métrica de Minkowski se desvanecen de forma idéntica.
EDIT: se Limpian algunos errores menores.
