Una integración que se trate.

Question

Una ayuda en el siguiente problema:

Deje $f:[-1,1] \longrightarrow \mathbb{R}$ $C^1$ función, es decir, continuamente diferenciable. Supongamos que tenemos $$\int_{-1}^{1} f(x)\;dx = \pi \quad\text{and}\quad \int_{-1}^{1} f'(x)\, x^n\;dx = 0,$$ para todo entero $n\geq 2014!$. Determinar el $f(0)$.

He tratado de integración por partes directamente, pero nada. Gracias por ayudarme!

Answer 1

Como dijo Daniel, $f(x)=\pi/2$ es la solución.

Deje $g(x)=f'(x)x^{2014!}$. Entonces, para cualquier $n=0,1,2,\ldots$ hemos $$ \int_{-1}^1 g(x)x^ndx=\int_{-1}^1f'(x)x^{n+2014!}\,dx=0. $$ Por lo $g(x)=0$ todos los $x\in[-1,1]$ (es ortogonal a $x^n$ todos los $n$), y por lo tanto $f'(x)=0$. Por lo $f$ es constante, y ahora la primera igualdad da $f(x)=\pi/2$, $x\in[-1,1]$.