Convergencia posterior en $L^p$

Question

Recuerdo un hecho que para las funciones $f_1,f_2,\ldots\in L^1$ tal que $\|f_n-f\|_1\rightarrow 0$ como $n\rightarrow\infty$ existe una sucesión $f_{n_i}$ que converge a $f$ casi en todas partes.

¿Sigue siendo cierto si sustituimos $L^1$ por $L^p$ y $\|f_n-f\|_1$ por $\|f_n-f\|_p$ ?

Answer 1

Esto es similar a lo que enlazó Julien, pero creo que vale la pena compartirlo:

RECLAMAR Supongamos que $f_n\in {\mathscr L}^p(X)$ es tal que $\displaystyle \sum_{n\geqslant 1}\lVert f_n\rVert<+\infty$ . Entonces $\displaystyle\sum_{n\geqslant 1}f_n $ converge a.e. en $X$ , está en ${\mathscr L}^p(X)$ y $$\left\lVert\displaystyle\sum_{n\geqslant 1}f_n\right\rVert \leqslant \sum_{n\geqslant 1}\lVert f_n\rVert$$

P Dejemos que $M=\sum_{n\geqslant 1}\lVert f_n\rVert <+\infty$ . Nota $\left\lVert\displaystyle \sum_{k\leqslant n}|f_k|\right\rVert\leqslant \displaystyle \sum_{k\leqslant n}\lVert f_k \rVert $ . Definir $h_n=\displaystyle\left(\sum\limits_{k\leqslant n}|f_k|\right)^p$ . Entonces $h_n\in {\mathscr L}^1(X)$ , $h_n$ aumenta y $\lVert h_n\rVert_1\leqslant M^p$ . Por el teorema de Levi, hay $h_0\in \mathscr L^1$ tal que $h_n\to h_0$ a.e. $X$ . A continuación $h=\displaystyle\sum_{k\geqslant 1}f_k$ converge (absolutamente) a.e. $X$ . Dejemos que $g_n=\left|\displaystyle\sum_{k\leqslant n}f_k\right|^p$ . Entonces cada $g_n\in \mathscr L^1(X)$ y $g_n\to |h|^p$ a.e. en $X$ y $g_n\leqslant h_n\leqslant h_0$ a.e. en $X$ . Por el teorema de convergencia dominada de Lebesgue, $|h|^p\in\mathscr L(X)$ y $$\int_X |h|^p=\lim_{n\to\infty}\int_X \left|\displaystyle\sum_{k\leqslant n}f_k\right|^p=\lim_{n\to\infty}\left\lVert \displaystyle\sum_{k\leqslant n}f_k\right\rVert^p\leqslant\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k\leqslant n}\lVert f_k \rVert\right)^p= \left(\sum_{n\geqslant 1}\lVert f_n\rVert\right)^p$$

COR1 Si $f_n\in {\mathscr L}^p(X)$ es tal que $\displaystyle \sum_{n\geqslant 1}\lVert f_n\rVert<+\infty$ entonces $\displaystyle\sum_{n\geqslant 1}f_n $ converge en el ${\mathscr L}^p$ norma a algunos $f\in\mathscr L^p(X)$ .

COR2 El espacio $\mathscr L^p(X)$ está completo, para

PROP Un espacio normado es completo si $\displaystyle \sum_{k\geqslant 1}x_k$ converge siempre que $\displaystyle \sum_{k\geqslant 1}\lVert x_k\rVert$ converge.