$x_t := a_t -b_t c_t $ con $dx_t = \theta (\mu-x_t) dt+ \sigma dW_t$

Question

Me gustaría resolver la siguiente ecuación de forma explícita utilizando el lema de Ito: $$ x_t := a_t -b_t c_t , $$ donde $x_t$ es un proceso Ornstein-Uhlenbeck (véase aquí ) $$ dx_t = \theta (\mu-x_t) dt+ \sigma dW_t $$

¿Puedo utilizar simplemente la solución proporcionada aquí ? Así que..:

$$ f(x_t, t) = x_t e^{\theta t}$$ y luego:

\begin{align} df(x_t,t) & = \theta x_t e^{\theta t}\, dt + e^{\theta t}\, dx_t \\[6pt] & = e^{\theta t}\theta \mu \, dt + \sigma e^{\theta t}\, dW_t. \end{align} $$ x_t = x_0 e^{-\theta t} + \mu(1-e^{-\theta t}) + e^{-\theta t}\int_0^t \sigma e^{\theta s}\, dW_s. $$

Answer 1

Ha encontrado correctamente $x_t$ como

$$x_t=x_0e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})+\sigma e^{-\theta t}\int_0^te^{\theta s}dW_s$$

Podemos reescribirlo como

$$x_t=a_t-b_tc_t$$

donde

$$\begin{align} &a_t=x_0e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})\\\\ &b_t=-\sigma e^{-\theta t}\\\\ &c_t=\int_0^te^{\theta s}dW_s \end{align}$$

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Nota,

$$dx_t=da_t-c_tdb_t-b_tdc_t$$

con

$$\begin{align} &da_t=\theta(\mu- a_t)dt\\\\ &db_t=-\theta b_tdt\\\\ &dc_t=e^{\theta t}dW_t \end{align}$$

Entonces,

$$\begin{align} dx_t&=da_t-c_tdb_t-b_tdc_t\\\\ &=\theta(\mu-a_t+b_tc_t)dt-(-\sigma e^{-\theta t})(e^{\theta t}dW_t)\\\\ &=\theta(\mu-x_t)dt+\sigma dW_t \end{align}$$

¡¡como se esperaba!!