¿Es cierto que «$\lim_{n \rightarrow \infty} f(\frac{a}{n}) = 0 $ implica $f(x)$ tiene un límite en $0$?

Question

¿Es la verdadera declaración siguiente?

Dejó, converge $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ una función que satisface, evety $a \in \mathbb{R}$, la secuencia $\{ f(\frac{a}{n}) \}$ $0$. $f$, Tiene un límite en $0$.

Creo que esto es cierto, pero no está seguro de cómo probarlo.

¡Gracias!

Answer 1

Sugerencia de Considerar la función de $f$ definido por

$$ f(x)=\left\lbrace \begin{array}{ll} x\sqrt{p}, & \text{if } x \text{ is a rational multiple of } \frac{1}{\sqrt{p}} \text{ for some prime} p \\ 0, & \text{otherwise} \end{array}\right. $$

Answer 2

Supongamos que $f\left(\dfrac{1}{e^n}\right)=1$ todos los $n\in \mathbb N$, e $f(x)=0$ si $x$ no tiene la forma $\dfrac{1}{e^n}$.

Answer 3

Para cualquier no-cero número real $a$, definir $[a]$ a ser el conjunto de todos los números de $a\frac{n}{m}$ donde $n$ $m$ son no-cero enteros. Cualquiera de las $[a]=[b]$ o $[a]\cap[b]=\emptyset$; de hecho, si $[a]$ $[b]$ comparten un elemento común, a continuación, $a\frac{m}{n}=b\frac{p}{q}$ para los no-cero enteros $m,n,p,q$, lo que da $a=b\frac{pn}{qm}$$b=a\frac{mq}{np}$.

Elija cualquier número irracional $a_{1}\in(\frac{1}{2},1]$. A continuación, elija un número irracional $a_{2}\in (\frac{1}{3},\frac{1}{2}]$ que no está en $[a_{1}]$. A continuación, seleccione un número irracional $a_{3} \in (\frac{1}{4},\frac{1}{3}]$ que no está en $[a_{1}]\cup[a_{2}]$. Continuar por la inducción de encontrar una secuencia de números racionales $\{ a_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ tal que $a_{n} \in (\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]$, por lo que ninguno de los conjuntos de $[a_{n}]$ comparten un elemento común. Definir una función $f$, de modo que $f(a_{n})=1$ $f(x)=0$ lo contrario. Entonces $\lim_{n}f(a_{n})\ne 0$, aunque $\lim_{n}a_{n}=0$. Por lo $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)\ne 0$. Si $b$ es un número irracional, a continuación, $\{ b,\frac{b}{2},\frac{b}{3},\ldots\}$ contiene más de un $a_{n}$ y, por lo tanto, $\lim_{n\rightarrow\infty}f(\frac{b}{n})=0$. Si $b$ es racional, a continuación, $f(b)=0$ y, por lo tanto, $\lim_{n\rightarrow\infty}f(\frac{b}{n})=0$ porque $b/n$ es también racional.