$G \cong G \times H$ no implica $H$ es trivial.

Question

En Aluffi del Álgebra: Capítulo $0$ no es una pregunta para dar un contraejemplo a la demanda

$G \cong G \times H$ implica $H$ es trivial.

Estoy en busca de una pista. Obviamente, al menos uno de $G$ o $H$ tiene que ser infinito. Hacer algo con $\mathbb{Z}$ parece ser lo natural. Traté de mostrar $\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ `entrelazado de iguala y probabilidades" argumento, pero el "impar + impar" caso mató a mi homomorphism...

Estoy en el camino correcto?

Gracias.

Answer 1

Por ejemplo, considere el $G=\mathbb Z[x]$ como un aditivo grupo. A continuación, $G\times \mathbb Z \cong G\times\mathbb Z\times\mathbb Z$ pero $\mathbb Z\not\cong \mathbb Z\times \mathbb Z$.

Una característica clave es el fracaso de uno de la cadena de condiciones. Todo esto se puede encontrar en los ejercicios en Rotman, el capítulo de Krull-Schmidt.