Es cada $\mathbb{I}$-compacto espacio topológico compacto?

Question

Deje $\mathbb{I}$ denotar la unidad de intervalo. Llamar a un espacio topológico $X$ $\mathbb{I}$-compacto si cada función continua $f : X \rightarrow \mathbb{I}$ alcanza su máximo en algún punto en $X$.

Pregunta. Es cada $\mathbb{I}$-compacto espacio topológico compacto?

Podemos reemplazar $\mathbb{I}$ con cualquiera de $[0,\infty]$ y/o $[-\infty,\infty]$, por supuesto, sin cambiar el sentido de la definición anterior.

Answer 1

Si $X$ $\mathbb{I}$- compacto, a continuación, $X$ debe ser pseudocompact. Esto puede ser visto por un contrapositivo: supongamos $X$ no es pseudocompact. A continuación, hay un continuo ilimitado función de $f: X \to \mathbb{R}$. Podemos suponer que $f[X] \subseteq [1,\infty)$ WLOG. Pero, a continuación, $1-\frac{1}{f} : X \to [0,1]$ también es continua y no asume su supremum $1$, lo $X$ no $\mathbb{I}$-compact.

Por el contrario, cada pseudocompact espacio es $\mathbb{I}$-compacto, como una imagen continua de un pseudocompact espacio es pseudocompact, y en sistema métrico espacios pseudocompactness es equivalente a la compacidad y compacto subconjuntos de a $[0,1]$ tiene un máximo. (esto es cierto en cualquier espacio ordenado.)

Así que la respuesta es no, por ejemplo, $X= \omega_1$ en el orden de la topología. Hay muchos más ejemplos de no-compacto pseudocompact espacios, como Mrówka $\Psi$ espacio, $\Sigma$-productos de una cantidad no numerable de copias de $[0,1]$ etc.

Así que creo que $X$ $\mathbb{I}$-compacto es sólo equivalente a pseudocompactness de $X$. Por lo que es equivalente a la compacidad en el ámbito de la métrica de los espacios, por ejemplo,