¿Cómo puedo calcular la suma de esta serie (estudiando para un examen, no para los deberes)?
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n2^{n+1}}$$
Respuestas
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Una heurística útil es combinar todo lo posible en $n$ de los poderes: $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac1{2n}\left(\frac{-1}{2}\right)^n$$ que es $$\frac12 \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}\quad \text{with }x=-1/2$$ Si no reconocemos inmediatamente $\sum \frac{x^n}{n}$ , diferéncialo simbólicamente para obtener $\sum_{n=0}^\infty x^n$ que es una serie geométrica con suma $\frac1{1-x}$ y luego integrarlo para obtener $-\log(1-x)$ (con la constante de integración seleccionada para hacer coincidir los términos de orden 0).
Así que $\frac 12 \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} = -\frac 12\log(1-x)$ y, por lo tanto, la respuesta buscada es $-\frac12\log(1+\frac 12) = -\frac 12\log \frac{3}{2}$ .
Anthony Shaw
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La serie Taylor para $\log(1+x)$ es $$ \log(1+x)=\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k-1}\frac{x^k}{k} $$ Enchufar $x=\frac{1}{2}$ obtenemos $$ \log\left(\frac{3}{2}\right)=\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k-1}\frac{1}{k2^k} $$ Multiplicando por $-\frac{1}{2}$ rinde $$ -\frac{1}{2}\log\left(\frac{3}{2}\right)=\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k}\frac{1}{k2^{k+1}} $$
JiminyCricket
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$$ \begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n2^{n+1}} &=& \left.\frac12\sum_{n=1}^\infty \frac{q^n}n\right|_{q=-1/2}\\ &=& \left.\frac12\sum_{n=1}^\infty \int_0^qt^{n-1}\mathrm dt\right|_{q=-1/2} \\ &=& \left.\frac12\int_0^q\sum_{n=1}^\infty t^{n-1}\mathrm dt\right|_{q=-1/2} \\ &=& \left.\frac12\int_0^q\frac1{1-t}\mathrm dt\right|_{q=-1/2} \\ &=& \left.\frac12\big[-\log(1-t)\big]_0^q\right|_{q=-1/2} \\ &=& \left.\frac12\left(-\log(1-q)\right)\right|_{q=-1/2} \\ &=& -\frac12\log\frac32\;. \end{eqnarray} $$
