El conjunto de enteros no es abierto o es abierto

Question

Baby Rudin pone el ejemplo de que el conjunto de todos los enteros no es abierto si es un subconjunto de $\mathbb{R}^2$ .

Si consideramos el conjunto de enteros en $\mathbb{R}$ ¿también este conjunto no está abierto? Puedo encontrar una vecindad que contenga cualquier punto, $p$ Sin embargo, ¿es un requisito que un barrio contenga más de un punto?

Estoy tratando de entender esto completamente y he buscado a través de los diversos puestos que tienen una ligera relación y no puede averiguar específicamente cómo se tienen en cuenta los puntos interiores y aislados y cómo se relacionan con la apertura .

Answer 1

Un conjunto $U\subset \mathbb R$ es abierto si y sólo si para cada $x\in U$ existe alguna $\epsilon > 0$ tal que $(x-\epsilon, x+\epsilon)$ es un subconjunto de $U$ .

Para $U=\mathbb Z$ Pero está claro que no es el caso:

• Toma $x=0$
• Tome cualquier $\epsilon > 0$ .
• Entonces, $\min\{x+\frac\epsilon2, x+\frac12\}$ es un elemento de $(x-\epsilon, x+\epsilon)$ pero no es un elemento de $\mathbb Z$ .
• Por lo tanto, $(x-\epsilon, x+\epsilon)$ no es un subconjunto de $\mathbb Z$ para cualquier valor de $\epsilon$
• Por lo tanto, $\mathbb Z$ no está abierto.

Answer 2

$\mathbb{Z}$ no está abierto en $\mathbb{R}$ .

Una forma de ver esto es que dado cualquier $n\in \mathbb{Z}$ que tenemos para cada $\epsilon>0$ que $(n-\epsilon, n+\epsilon)$ no está contenida en $\mathbb{Z}$ .