Hay una identidad que dice $|\sqrt {a^2+x^2} - \sqrt {a^2+y^2}| \leq |\sqrt {x^2} - \sqrt {y^2}|$?

Question

Hay una identidad que dice $|\sqrt {a^2+x^2} - \sqrt {a^2+y^2}| \leq |\sqrt {x^2} - \sqrt {y^2}|$?

Debido a la naturaleza de la función raíz cuadrada, sus derivados disminuye monótonamente. así que las diferencias de "más arriba" de la función serán menos que los que hay más abajo.

Answer 1

Sí. $$ \left|\sqrt {a^2+x^2} - \sqrt {a^2+y^2}\right| =\frac{\lvert x^2-y^2\rvert}{\left|\sqrt {a^2+x^2} + \sqrt {a^2+y^2}\right|} = |\sqrt {x^2} - \sqrt {y^2}|\cdot \frac{|\sqrt {x^2} + \sqrt {y^2}|}{\left|\sqrt {a^2+x^2} + \sqrt {a^2+y^2}\right|} \leq |\sqrt {x^2} - \sqrt {y^2}| $$

Answer 2

Esto es cierto. Usted puede ver esta asumiendo $x>y$ sin perder generalidad y, a continuación, diferenciando \begin{equation} f(a)=\sqrt{a^2+x^2}-\sqrt{a^2+y^2} \end{equation} con respecto a $a$. Derivada es negativa por lo tanto $f$ es la disminución de la función de $a$ y es maximizada en $0$.