En Stein y Shakarchi del libro, en el Capítulo 1, Ejercicio 7 nos pide que nos muestran que $$\left|\frac{w-z}{1-\overline{w}{z}}\right|<1$$ if $|z|<1$ and $|w|<1$, with equality if either $|z|=1$ or $|w|=1$. I was able to show this much, and for the second part of the question, most of it is immediate from the above, except showing that for a fixed $w\in\mathbb{D}=\{z\in\mathbb{C}:|z|<1\}$ $$F(z)=\frac{w-z}{1-\overline{w}{z}}$$ is holomorphic. I can do it if I completely expand everything and get it to the form $F(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)$ (I haven't actually written everything out, only assured myself that I could actually get it to such a form). From here I should be able to check the Cauchy-Riemann equations and verify the partial derivatives are continuous, which is enough to show that $F$ es holomorphic, pero me preguntaba si había una mejor/forma más elegante de la muestra? Gracias!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Los cocientes de holomorphic funciones son holomorphic donde están definidos, es decir, donde el denominador es distinto de cero.
En su caso, el denominador nunca es cero, porque..... (los detalles de la izquierda)
Edit: por supuesto, usted no tiene que mencionar (o demostrar) que el numerador y el denominador son, de hecho, holomorphic!
Y si este hecho acerca de los cocientes no ha sido probada... bien, supongo que tendrás que hacer eso, también. La prueba es exactamente el mismo que el real de la variable de caso.
