Conjunto de Cantor menos extremos homeomórficos a irrationals?

Question

$C=$ Conjunto de Cantor

$C_1=$ conjunto de puntos en $C$ que son adyacentes a quitarse los intervalos de

$C_2=C\setminus C_1$ (todos los de la "no extremos")

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PREGUNTA: Es $C_2$ homeomórficos a $\overline {\mathbb Q}$, el conjunto de irrationals?

No veo ninguna razón obvia por la cual no se homeomórficos. Ambos son cero dimensional, nada localmente compacto, la cardinalidad $2^\omega$, etc.

Answer 1

Sí. $\Bbb R\setminus\Bbb Q$ es el único que no está vacía, separables, completamente metrizable, nada localmente compacto, cero-dimensional espacio. $C_2$ es claramente un $G_\delta$$C$, por lo que es topológicamente completa, y que usted ya haya observado que no está en ninguna parte localmente compacto y cero-dimensional.

Añadido: Una referencia de este teorema es Jan van Mill, El Infinito-Dimensional de la Topología de los Espacios de funciones (North-Holland Matemáticas de la Biblioteca), el Teorema de $\mathbf{1.9.8}$.

Answer 2

Aquí es más una prueba directa. Tenga en cuenta que $C_2$ se compone de los números entre el $0$ $2$ cuya base $3$ expansión es nonterminating y consta de $0$s y $2$s. Podemos tomar cualquier expansión, reemplace el $2$s $1$s, y la consideran como un binario de expansión. A continuación, obtener un número de entre $0$ $1$ a que nonterminating binario de expansión, es decir, un número que no es un diádica racional. Escrito $D$ para el diádica racionales en $(0,1)$, ahora tenemos un bijection $C_2\to (0,1)\setminus D$, y no es demasiado difícil de verificar directamente que este es un bijection homeomorphism. (En realidad, es la restricción a $C_2$ de el Cantor de la función.)

Ahora $D$ es una contables densa orden lineal sin extremos, de modo que por un estándar de ida y vuelta argumento es de orden-isomorfo a $\mathbb{Q}$. Este isomorfismo se extiende a un isomorfismo entre la Dedekind-terminaciones de $D$$\mathbb{Q}$,$(0,1)$$\mathbb{R}$. Así que tenemos un orden, un isomorfismo (y por lo tanto homeomorphism) $(0,1)\to \mathbb{R}$ que envía a $D$$\mathbb{Q}$. Así también envía a $(0,1)\setminus D$$\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$. Por lo tanto, obtener un homeomorphism $(0,1)\setminus D\to \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$, que podemos componer con nuestro anterior homeomorphism para obtener una homeomorphism $C_2\to\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$.