Diferencia entre un límite y un punto de acumulación?

Question

¿Cuál es la diferencia exacta entre un punto límite y un punto de acumulación?

Un punto de acumulación de un conjunto es un punto, cuyo vecindario tiene infinitos puntos del conjunto. Alternativamente, ¿tiene una secuencia de términos DISTINTOS que convergen hacia él?

En cambio, un punto límite simplemente tiene una secuencia que converge hacia él, ¿es decir algo como $(1)^n$, que es una secuencia constante?

¿Es esta la idea correcta? Se agradecería toda la información detallada y la intuición que se pueda proporcionar.

Answer 1

La diferencia es muy simple.

1) Como escribiste: un punto de acumulación de un conjunto es un punto, cuyo entorno contiene infinitos puntos del conjunto.

2) Pero un punto límite es un punto de acumulación especial. No importa cuán pequeño sea el entorno que elijas, todos los miembros $a_n$ (después de cierto $n$) están en el entorno del punto límite.

El requisito para todos los miembros (después de cierto $n$) es obviamente más fuerte que el requisito de infinitos puntos/miembros.

Entonces, cada punto límite es un punto de acumulación, pero no cada punto de acumulación es un punto límite. También ten en cuenta que: (1) si una secuencia tiene un punto límite, entonces ese es el único punto de acumulación de la secuencia; (2) si una secuencia tiene más de un punto de acumulación, entonces esa secuencia no tiene punto límite. Intenta demostrar estos dos, clarificará tus confusiones.

Answer 2

Desafortunadamente, no parece haber una definición estándar para estos términos. Un autor puede decir que los puntos de acumulación son puntos límite, otros no. Lo mejor es verificar la definición dada en el libro, paper, etc que estás leyendo.