Funciones como la función de Weierstrass o van der Waerden la función de exhibir auto-gráficos similares. Es esta característica de continuo en todas partes, diferenciable en ningún funciones? Hay un contraejemplo a esta?
Respuesta
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El Takagi función, definida por $$T(x)=\sum_{n=0}^\infty {{\rm dist}(2^nx,\mathbb Z)\over 2^n}$$ es un ejemplo de una continua, diferenciable de la función cuya gráfica no es un fractal, en el sentido de que ha Hausdorff y cuadro de conteo de la dimensión 1 (ver aquí y aquí).
Estoy seguro de varias cosas en esta dirección son verdaderas. Por ejemplo (Corolario 11.2 en Falconer la Geometría Fractal), la gráfica de una función continua $f$ $[0,1]$ que satisface una condición de Hölder con exponente $0\le\alpha\le 1$ ha Hausdorff y cuadro de conteo de dimensiones inferiores o iguales a $2-\alpha$.
Si por el contrario existe $c>0$, $\delta_0>0$, y $1\le s<2$ tal que para todos los $0<\delta\le\delta_0$ existe $y$$|x-y|\le\delta$$|f(x)-f(y)|\ge c\delta^{2-s}$, entonces el cuadro de conteo de dimensión al menos $s$. (Tenga en cuenta que esto no dice nada acerca de la dimensión de Hausdorff, que nunca es más grande que el cuadro de conteo de dimensión).
