Cómo probar esta integral operador compacto?

Question

$T_kf=\int K(x,y)f(y)dy$

donde $K(x,y)=\frac{\phi(x)\phi(y)}{|x-y|^{n-\alpha}}$

$\phi(x)$ es una función suave en un tamaño compacto. $f$ se define en $R^n$ $K$ se define en $R^n\times R^n$

Mostrar que $T_k$ es compacto de $L^p$ $L^q$al$p<q<r$$\frac1r = \frac1q - \frac\alpha n$.

Creo que este ejercicio es una aplicación de Hardy fracciones de la desigualdad y de Ascoli-Teorema de Arzela

Answer 1

Estoy realmente confundido por la $|n-\alpha|$ restricción, así que espero su ok si me acaba de asumir que $K(x,y) = \frac{\phi(x)\phi(y)}{|x-y|^{\beta}}$.

Si no me equivoco, a continuación, para $p,q$ $1/p + 1/q = 1/r$ $\beta < 1/q$ que $T_K$ dada por $$ f\mapsto \int K(x,y) f(y) dy $$ es un lugar bien definido operador de $L^p$ $L^r$y en el operador de la norma acotada por $||K||_q$. Ahora vamos a $\chi_n(x,y)$ ser una secuencia de funciones simples que convergen a$K(x,y)$$L^q$. A continuación, $T_{\chi_n} $ dada por
$$ f\mapsto \int \chi_n(x,y) f(y) dy $$ converge a $T_K$ w.r.t. el operador de la norma. Si pudiéramos demostrar que todas las $T_{\chi_n} $ son compactos operadores a continuación, se seguiría que el $T_K$ es compacto, ya que el conjunto de operadores compactos está cerrado en el operador de la topología de la norma. Pero desde $\chi_n$ es sólo una combinación lineal de funciones de los indicadores, $T_{\chi_n}$ es sólo una combinación lineal de funcionales que parecen $$ f\mapsto \int_A f(y) dy. $$ Esto demuestra que $T_K$ es compacto.