Podemos extender la prueba de densidad de $\sin(n)$$\sin(n^2)$?

Question

Sabemos que $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ define como $x_n=sin(n)$ es denso en el intervalo de $[-1,1]$ , podemos extender esto para probar también a $sin(n^2)$ es denso en $[-1,1]$ ?

En primer lugar me presento mi prueba de densidad de $sin(n)$ a fin de que comprenda el paso clave que tengo en mente para pasar a $sin(n^2)$. Desde $sin(n)=sin(n+2k\pi)$ donde $k\in \mathbb{Z}$ el problema es equivalente a demostrar $n+2k\pi$ es denso en $\mathbb{R}$ , o, equivalentemente, $n-2k\pi$ es denso en $[0,2\pi)$ es suficiente. Para la prueba que tendrá este teorema:

Dirichlet del teorema de aproximación

Para cualquier número real $\alpha$ natural y número de $N$ no exsists enteros $p,q$ $1\le q \le N$ tal que $$|q\alpha-p|<\frac{1}{N}$$
Una consecuencia de este teorema es que por cada irracionales alfa $\alpha$ la desigualdad $$\left|{\alpha -\frac{p}{q}} \right|<\frac{1}{q^2} \ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \ |q\alpha-p|<\frac{1}{q} \ \ \ \ \ \ \ (*)$$ es satisfecho por un número infinito de números enteros $p,q$.

Para $(*)$ no exsist infinitamente muchos enteros $p,q$ tal que $|2\pi q-p|<\frac{1}{q}$ esto es equivalente a $\inf_{n,m\in \mathbb{N}}|n-2\pi m|=0$ $\forall \epsilon >0$ no exsist $m,n$ tal que $|n-2\pi m|<\epsilon$.

Ahora vamos a $n-2\pi m = \Delta$ $\alpha \in [0,2\pi)$ un número real. Tenemos dos casos:

1) $\Delta>0$ tenemos $0<\Delta < \epsilon$ y deje $k=\lfloor \frac{\alpha}{\Delta} \rfloor$ $$0< \frac{\alpha}{\Delta} -k <1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ 0<\alpha-k\Delta < \Delta$$ Entonces tenemos $$0<\alpha-k\Delta=\alpha-(kn-2\pi mk) < \Delta < \epsilon \ \ \ \ \ (1)$$ 2) $\Delta<0$ tenemos $-\epsilon<\Delta < 0$ y deje $k=\lfloor \frac{\alpha-2\pi}{\Delta} \rfloor$ $$0< \frac{\alpha-2\pi}{\Delta} -k <1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ 0> \alpha-2\pi-k\Delta > \Delta$$ Entonces $$0 >\alpha-2\pi-k\Delta = \alpha-(kn-2\pi (mk-1)) > \Delta >-\epsilon$$

Así hemos demostrado que $\forall \epsilon >0$ podemos encontrar un número $Q$ en la forma $Q=n-2\pi m$ algunos $m,n$ enteros tales que $|Q-\alpha|< \epsilon$ por lo que el conjunto de $\{ n-2\pi m \}$ es denso en $[0,2\pi)$ y la prueba está completa.

Traté de extender esta prueba a$sin(n^2)$, pero no pude, mi idea principal es : Podemos encontrar una "forma cúbica" o algo similar a la de Dirichlet del teorema de aproximación? Si podemos encontrar una declaración con la misma hipótesis, como, para algunos,$c\in \mathbb{R}$ :
$$\left|{\alpha -\frac{p}{q}} \right|<\frac{1}{cq^3} \ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \ |q\alpha-p|<\frac{1}{cq^2} \Longrightarrow |q^2\alpha-(pq)|<\frac{1}{cq}$$ nos gustaría ser capaces de demostrar que la densidad de $\{n^2-2\pi m \}$$[0,2\pi)$. Hace algo similar ¿exsist? O debemos ir a un enfoque diferente?

Answer 1

El enfoque habitual para la comprobación de la densidad de $\sin(n^k)$ $[-1,1]$ (no importa lo $k\in\mathbb{Z}^+$), la explotación de Weyl de la desigualdad / Van Der Corput del truco. Larga historia corta, considerando un adecuado convergente de $\pi$ es posible demostrar, a través del Titular de la desigualdad, algunos no trivial de la cancelación de sumas exponenciales como $$\sum_{n=1}^{N}\exp\left(i n^k\right).$$ Esto demuestra que para un fijo $k\in\mathbb{Z}^+$ la secuencia de $\{\exp(in^k)\}_{n\geq 1}$ es en realidad un poco más densa que en el círculo unitario: es equidistributed. Desde la proyección de $z\to \text{Im}(z)$ es continua conserva la densidad y la demanda de la siguiente manera.