Sabemos que $(x_n)_{n\in\mathbb{N}} $ define como $x_n=sin(n) $ es denso en el intervalo de $[-1,1]$ , podemos extender esto para probar también a $sin(n^2) $ es denso en $[-1,1]$ ?
En primer lugar me presento mi prueba de densidad de $sin(n)$ a fin de que comprenda el paso clave que tengo en mente para pasar a $sin(n^2) $. Desde $ sin(n)=sin(n+2k\pi) $ donde $k\in \mathbb{Z}$ el problema es equivalente a demostrar $ n+2k\pi $ es denso en $\mathbb{R}$ , o, equivalentemente, $ n-2k\pi $ es denso en $[0,2\pi)$ es suficiente. Para la prueba que tendrá este teorema:
Dirichlet del teorema de aproximación
Para cualquier número real $\alpha$ natural y número de $N$ no exsists enteros $p,q$ $ 1\le q \le N $ tal que
$$ |q\alpha-p|<\frac{1}{N} $$
Una consecuencia de este teorema es que por cada irracionales alfa $\alpha$ la desigualdad
$$ \left|{\alpha -\frac{p}{q}} \right|<\frac{1}{q^2} \ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \ |q\alpha-p|<\frac{1}{q} \ \ \ \ \ \ \ (*)$$
es satisfecho por un número infinito de números enteros $p,q$.
Para $(*)$ no exsist infinitamente muchos enteros $p,q$ tal que $|2\pi q-p|<\frac{1}{q}$ esto es equivalente a $ \inf_{n,m\in \mathbb{N}}|n-2\pi m|=0$ $\forall \epsilon >0 $ no exsist $m,n$ tal que $ |n-2\pi m|<\epsilon $.
Ahora vamos a $n-2\pi m = \Delta $ $\alpha \in [0,2\pi) $ un número real. Tenemos dos casos:
1) $\Delta>0 $ tenemos $ 0<\Delta < \epsilon $ y deje $ k=\lfloor \frac{\alpha}{\Delta} \rfloor$ $$ 0< \frac{\alpha}{\Delta} -k <1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ 0<\alpha-k\Delta < \Delta $$ Entonces tenemos $$ 0<\alpha-k\Delta=\alpha-(kn-2\pi mk) < \Delta < \epsilon \ \ \ \ \ (1) $$ 2) $\Delta<0 $ tenemos $ -\epsilon<\Delta < 0 $ y deje $ k=\lfloor \frac{\alpha-2\pi}{\Delta} \rfloor$ $$ 0< \frac{\alpha-2\pi}{\Delta} -k <1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ 0> \alpha-2\pi-k\Delta > \Delta $$ Entonces $$ 0 >\alpha-2\pi-k\Delta = \alpha-(kn-2\pi (mk-1)) > \Delta >-\epsilon$$
Así hemos demostrado que $ \forall \epsilon >0 $ podemos encontrar un número $Q$ en la forma $ Q=n-2\pi m $ algunos $m,n$ enteros tales que $ |Q-\alpha|< \epsilon $ por lo que el conjunto de $ \{ n-2\pi m \} $ es denso en $[0,2\pi) $ y la prueba está completa.
Traté de extender esta prueba a$sin(n^2) $, pero no pude, mi idea principal es :
Podemos encontrar una "forma cúbica" o algo similar a la de Dirichlet del teorema de aproximación? Si podemos encontrar una declaración con la misma hipótesis, como, para algunos,$c\in \mathbb{R} $ :
$$ \left|{\alpha -\frac{p}{q}} \right|<\frac{1}{cq^3} \ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \ |q\alpha-p|<\frac{1}{cq^2} \Longrightarrow |q^2\alpha-(pq)|<\frac{1}{cq}$$
nos gustaría ser capaces de demostrar que la densidad de $ \{n^2-2\pi m \}$$[0,2\pi) $.
Hace algo similar ¿exsist? O debemos ir a un enfoque diferente?
