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La homología de la suma de cuñas es la suma directa de las homologías

Quiero demostrar que Hn(αXα)αHn(Xα) para los pares buenos (Hatcher define un par bueno como un par (X,A) tal que AX y hay una vecindad de A que la deformación se retrae en A ).

Lo que he probado:

Desde (Xα,xα) son buenas parejas, (Xα,{xα:αI}) es un buen par, por lo que un teorema (un largo argumento de secuencia exacta) nos da un isomorfismo q:Hn(Xα,{xα:αI})Hn(Xα/{xα:αI},{xα:αI}/{xα:αI})=Hn(Xα,some point) inducido por el mapa cociente q:Xα,{xα:αI})Xα/{xα:αI},{xα:αI}/{xα:αI})=(Xα,some point)

Preguntas:

Ahora, ¿significa esto que tenemos un isomorfismo ϕ:Hn(Xα)=Hn(Xα)Hn(Xα) ? En general, si tenemos un isomorfismo θ:Hn(X,Y)Hn(A,B) entonces también tenemos un isomorfismo θ:Hn(X)Hn(A) ?

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Giorgio Mossa Puntos 7801

Su prueba está casi completa, permítame sugerirle alguna pista adicional para completarla:

  • hay un isomorfismo ˜Hn(X)Hn(X,x0) entre la homología reducida de un espacio X y la homología del par (X,x0) donde x0X ;

  • en la categoría de pares de espacios topológicos hay un isomorfismo Hn(α(Aα,Bα))αHn(Aα,Bα) para una familia de pares (Aα,Bα)α .

Combinando estos resultados con lo que has utilizado deberías llegar a la solución del problema.

Espero que esto ayude.

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