La homología de la suma de cuñas es la suma directa de las homologías

Question

Quiero demostrar que $H_n(\bigvee_\alpha X_\alpha)\approx\bigoplus_\alpha H_n(X_\alpha)$ para los pares buenos (Hatcher define un par bueno como un par $(X,A)$ tal que $A\subset X$ y hay una vecindad de $A$ que la deformación se retrae en $A$ ).

Lo que he probado:

Desde $(X_\alpha, x_\alpha)$ son buenas parejas, $(\bigsqcup X_\alpha, \{x_\alpha:\alpha\in I\})$ es un buen par, por lo que un teorema (un largo argumento de secuencia exacta) nos da un isomorfismo $$q_*:H_n(\bigsqcup X_\alpha, \{x_\alpha:\alpha\in I\})\to H_n(\bigsqcup X_\alpha/\{x_\alpha:\alpha\in I\},\{x_\alpha:\alpha\in I\}/\{x_\alpha:\alpha\in I\})=H_n(\bigvee X_\alpha, \text{some point})$$ inducido por el mapa cociente $$q:\bigsqcup X_\alpha, \{x_\alpha:\alpha\in I\})\to \bigsqcup X_\alpha/\{x_\alpha:\alpha\in I\},\{x_\alpha:\alpha\in I\}/\{x_\alpha:\alpha\in I\})=(\bigvee X_\alpha, \text{some point})$$

Preguntas:

Ahora, ¿significa esto que tenemos un isomorfismo $\phi:H_n(\bigsqcup X_\alpha)=\bigoplus H_n(X_\alpha) \to H_n(\bigvee X_\alpha)$ ? En general, si tenemos un isomorfismo $\theta:H_n(X,Y)\to H_n(A,B)$ entonces también tenemos un isomorfismo $\theta':H_n(X)\to H_n(A)$ ?

Answer 1

Su prueba está casi completa, permítame sugerirle alguna pista adicional para completarla:

• hay un isomorfismo $$\tilde H_n(X) \cong H_n(X,x_0)$$ entre la homología reducida de un espacio $X$ y la homología del par $(X,x_0)$ donde $x_0 \in X$ ;

• en la categoría de pares de espacios topológicos hay un isomorfismo $$H_n\left(\bigsqcup_\alpha (A_\alpha,B_\alpha)\right) \cong \bigoplus_\alpha H_n(A_\alpha, B_\alpha)$$ para una familia de pares $(A_\alpha,B_\alpha)_\alpha$ .

Combinando estos resultados con lo que has utilizado deberías llegar a la solución del problema.

Espero que esto ayude.