Probabilidad a partir de dados aleatorios

Question

Supón que tienes un par de dados que tienen pegatinas extraíbles para los números en cada una de sus 6 caras. Supongamos que despegas las 12 pegatinas de los dados y las vuelves a colocar al azar en los 2 dados. Seguirás teniendo 2 ocurrencias de cada número del 1 al 6. Sin embargo, ambos pueden aparecer en el mismo dado. (Por ejemplo: después de reorganizar las pegatinas, puedes tener los dados $d_1$ y $d_2$ con los lados $d_1 = [1,2,2,4,4,6]$ y $d_2 = [1,3,3,5,5,6]$ .)

Supongamos ahora que tiras este par de dados al azar. ¿Existe una forma concisa de calcular la probabilidad de cada resultado? ¿Cuál es la probabilidad de cada resultado posible?

Sólo con la elaboración de algunos de los posibles arreglos, parece que $p(2)$ debe ser $\frac{1}{72}$ (que podría no ser correcta), pero las otras probabilidades son más difíciles de calcular de esta manera.

Answer 1

El problema puede verse como la elección de $2$ números de la lista de doce números $1$ , $1$ , $2$ , $2$ , $3$ , $3$ , $4$ , $4$ , $5$ , $5$ , $6$ , $6$ y mirando su suma.

Ahora hay $12 \cdot 11 = 132$ formas de elegir dos números de la lista. ¿De cuántas maneras podemos elegir dos números iguales (específicos)? Aparentemente hay exactamente $2$ formas de hacerlo (depende de cuál de los dos mismos números elijas primero). De cuántas maneras podemos elegir dos números diferentes en un orden determinado (por ejemplo $1,2$ )? Hay exactamente $2\cdot2 = 4$ formas de hacerlo ( $2$ dos opciones para la primera elección, $2$ opciones para la segunda selección).

Ahora para las sumas, de cuántas maneras podemos obtener la suma $2$ ? Eso es posible sólo como $1+1$ que por el razonamiento anterior puede ocurrir $2$ veces (tenemos que elegir dos números iguales), por lo que la probabilidad es $$p(2)=\frac{2}{132}=\frac{1}{66}$$

¿De cuántas maneras podemos obtener la suma $3$ ? Tenemos $3=1+2=2+1$ y, de nuevo, por el razonamiento anterior, hay una $4+4=8$ posibilidades. Esto se debe a que para conseguir $2+1$ tenemos que elegir dos números diferentes (y sabemos que es posible en $4$ formas), lo mismo para $1+2$ . Así que la probabilidad es $$p(3)=\frac{8}{132}=\frac{2}{33}$$

Asimismo, $4=1+3=2+2=3+1$ con $4+2+4=10$ posibilidades, por lo que la probabilidad es $$p(4)=\frac{10}{132}=\frac{5}{66}$$

Y así sucesivamente...

Answer 2

Aquí hay una fórmula que se generaliza a más dígitos.

Rotulemos los dados A y B, y escribamos $(i,j)$ para la obtención $i$ en A y $j$ en $B$ . Consideremos los dos casos siguientes.

1. $i=j$ . Esto sólo puede ocurrir si tenemos exactamente una $i$ en cada dado. La probabilidad de esto es $\frac{ 2\binom{10}{5}}{\binom{12}{6}}$ (elija uno de los dos $i$ en A y la otra en B, entonces elige $5$ más números del resto $10$ para el dado A). Una vez que tenemos exactamente una $i$ en cada dado, la probabilidad de que ambos caigan $i$ es $\frac 16 \times\frac 16$ . Por lo tanto, $$P( (i,i)) = \frac{ 2\binom{10}{5}}{\binom{12}{6}} \frac{1}{36}=\frac{1}{66}$$
2. $i\ne j$ . Como esto es independiente de la elección de $i$ y $j$ y hay exactamente $6*5=30$ tales pares, la probabilidad es igual a $$ \frac {1}{30} (1- \sum_{i} P( (i,i) )=\frac{1}{30}(1-\frac {1}{11})=\frac {1}{33}.$$

Ahora queda encontrar la probabilidad de una suma igual a $k$ .

a. Si $k\le 7$ Hay exactamente $k-1$ formas de escribirlo: $ (1,k-1),(2,k-2),\dots, (k-1,1)$ . Ahora bien, si $k$ es impar, entonces en todos estos $i\ne j$ . Por lo tanto, la probabilidad es $(k-1)/33$ . Si $k$ es par, entonces exactamente uno de ellos es de la forma $i=j$ Por lo tanto, la respuesta es $(k-2)/33 + 1/66$ .

b. Finalmente si $k \ge 8$ y $(i,j)$ es tal que $i+j=k$ . Entonces $(7-i,7-j)$ tiene exactamente la misma probabilidad, y tiene la suma entre $\{2,\dots,6\}$ . Por lo tanto, la probabilidad de obtener $k$ es la misma que la probabilidad de obtener $14-k$ .

En otras palabras, la distribución de la suma es simétrica respecto a $7$ .

Answer 3

Escribí un programa básico en Python para encontrar la distribución de los diferentes valores. Hay ${12 \choose 6} = 924$ formas de seleccionar seis valores de entre doce, por lo que el número de distribuciones de valores posibles es igual a $\frac{924}{2} = 462$ . Para cada una de estas combinaciones, aumenté la probabilidad de las 36 combinaciones de los dos dados, dando como resultado las siguientes probabilidades:

 2 - 0.0152 -  1/66
 3 - 0.0606 -  4/66
 4 - 0.0758 -  5/66
 5 - 0.1212 -  8/66
 6 - 0.1364 -  9/66
 7 - 0.1818 - 12/66
 8 - 0.1364 -  9/66
 9 - 0.1212 -  8/66
10 - 0.0758 -  5/66
11 - 0.0606 -  4/66
12 - 0.0152 -  1/66

Por ejemplo, para obtener un 2 necesitamos que los dos 1 estén en dos dados diferentes (probabilidad $\frac{6}{11}$ ), en cuyo caso la probabilidad de acertar un 2 es igual a $\frac{1}{36}$ . La probabilidad total de obtener un 2 es, por tanto, igual a $\frac{5}{11} \times 0 + \frac{6}{11} \times \frac{1}{36}=\frac{1}{66} \approx 0.0152$ . El programa Python:

import itertools
import math
from collections import defaultdict

values = [x for x in range(1, 13)]
d = defaultdict(int)

for v in itertools.combinations(values, 6):
    w = [x for x in values if x not in v]
    for i in range(6):
        for j in range(6):
            d[math.ceil(v[i]/2) + math.ceil(w[j]/2)] += 1/36/924

for k in d:
    print(k, d[k])