¿Encontrar un caso raro en el que una regla incorrecta funcione?

Question

"Un error no infrecuente en el cálculo es creer que la regla del producto de las derivadas establece que $(fg)' = f'g'$ . Si $f(x) = e^{3x}$ encontrar una función g no nula para la cual $(fg)' = f'g'$ ."

Creo que puedes encontrar la(s) función(es) utilizando el álgebra, yo obtuve ${dy \above 1pt dx}ge^{3x} = g'*3e^{3x}$ pero no sé qué hacer con $g$ . ¿Qué podría sustituir a $g$ y $g'$ ¿o estoy haciendo todo esto mal?

Answer 1

La idea es hacer uso de la regla del producto habitual (ya que el problema está pidiendo más o menos cuando la regla $(fg)'=f'g'$ funciona dada una determinada elección de $f$ ): $(fg)' = f'g+fg'$ . Utilizando nuestra definición de $f$ vemos que nuestra ecuación $(fg)' = f'g'$ se convierte en

$$3e^{3x}g+e^{3x}g' = 3e^{3x}g'$$

o de forma equivalente (dividiendo por $e^{3x}$ )

$$3g+g' = 3g' \quad \Longrightarrow\quad g' = \frac{3}{2}g.$$

¿Ves cómo proceder?

Answer 2

Prueba esto: queremos $3g'e^{3x} = 3ge^{3x} + g'e^{3x}$ .

Podemos dividir por $e^{3x}$ para conseguir $3g' = 3g + g'$ . Ahora combina los términos iguales y simplifica. Aquí tenemos una ecuación diferencial, pero con un poco de reflexión, ciertamente no necesitas un curso de ecuaciones diferenciales para resolverla.