¿Por qué es $2\pi$ radianes no se reemplaza por $1$ en las fórmulas?
La mayoría de ellos sería más simple. Si esa sustitución fue propuesto anteriormente, ¿por qué fue rechazada?
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Handoko
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Porque si usas $1$ durante el turno en lugar de $2\pi$ (olvidando lo que un radián es), se obtiene que el $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \sin x = 2\pi\cos x$, que es probablemente lo que usted desea, y muchos otros problemas, tales como $\sin x$ no ser una solución a $y''+y=0$ etc.
Se puede discutir si la vuelta completa es $2\pi$ o $\tau$ (tau), pero usted no puede cambiar el hecho de que es igual a $6.2831853071\cdots$.
Julián Aguirre
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Hay un movimiento para hacer la $2\,\pi=\tau$ una constante fundamental en lugar de $\pi$ (leer El Tau Manifiesto.) Pero no tan lejos como puedo saber usar $1$ como la medida de todo el circunference. Una posible razón es que el $\pi$ codifica la relación entre el radio y la longitud de una circunferencia: un sector circular de radio $r$ y el ángulo de $\alpha$ radianes tiene una longitud igual a $\alpha\,r$; sería $2\,\beta\,\pi\,r$ donde $\beta$ es la medida del ángulo en las unidades que se proponen. Además, usted no puede evitar la $\pi$ en fórmulas como $$ e^{\pi i}+1=0. $$
Daniel Robert-Nicoud
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De hecho, "radianes" no son una unidad como metros o segundo, por lo que no se puede cambiar la escala de ellas para hacer de $2\pi$ se $1$ (como a veces se hace en la física, reescalado por ejemplo, medidores para que $c=1$).
Como un aparte, grados son absolutamente un concepto artificial, y usted debe tratar de no usarlas nunca.
Benjamin Bannier
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Los radianes son el natural, adimensional elección de la unidad para medir el ángulo. Ciertamente podríamos definir el giro completo como $1$. Esa es una buena, sana de la unidad. Es más agradable que el de empujar nuestro histórico hotel comfort con base $60$ $360^\circ$ o tratar con engorroso $400 \text{ gon}$. Pero no $1$ reflejan realmente el sistema que estamos tratando de describir?
En la elección de una unidad apropiada, deberíamos preguntarnos "¿Qué es la medición de un ángulo?" Una definición apropiada es la medida $\theta$ del ángulo subtendido por un arco de longitud $s$ de un círculo de radio $r$. Esta definición, sin embargo, necesita algo de trabajo para convertirse en una herramienta práctica. Dada la evidente relación entre un ángulo y un círculo, podemos llamar la geometría de Euclides para encontrar a nosotros mismos un buen parámetro. He aquí la relación de la circunferencia al diámetro: $C/d=\pi$! Ahora observamos que la relación entre la longitud del arco y de la circunferencia que pasa como
$$s = (\text{some fraction})\times C = \dfrac{\theta \times C}{\theta_{turn}}$$
Estamos de llegar a alguna parte. Vamos a adoptar una cómoda parametrización de medida de ángulo, algo que podemos tirar números e interpretar fácilmente. Quizás una buena opción sería necesario un conveniente círculo. Así, el círculo unidad tiene un buen radio y la zona. Su circunferencia es de $2\pi$. Si la distancia alrededor del círculo unitario es $2\pi$, entonces ¿por qué no adoptar esta para mi la unidad de medida del ángulo? Voy a definir el ángulo de medida $\theta_{turn}$ que me lleva todo el círculo a $2\pi$.
Longitud de arco es ahora limpiamente dada por
$$s = r\theta $$
Esa es la definición de radián en la última línea. ¿Por qué es una opción superior? Cualquier otra elección de las unidades que han dejado más de algunas otras constantes. Con la elección de $2\pi$, tenemos un limpio, relevante y dimensión de la unidad.
Serge Ballesta
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Sólo un complemento a zahbaz respuesta.
Con los ángulos en radianes, que se obtenga una bonita fórmulas:
sin' = cos
cos' = -sin
sin(x) = 1/2 * (exp(ix) - exp(-ix))
cos(x) = 1/2 * (exp(ix) + exp(-ix))
Por supuesto que esas son las consideraciones matemáticas, y esa es la razón por la que en la vida común, utilizamos grados.
Pero hay otras unidades. En la artillería, la milésima (millième en francés). Usted tiene 6400 de entonces en un turno (¿por qué no...), sino como una aproximación, se da una elevación de 1 m a 1 km de distancia. Si usted tiene este de los prismáticos y se puede adivinar la altura de algo, usted puede fácilmente calcular una distancia incluso un militar puede...
